Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
В правильной треугольной призме *ABCA₁B₁C₁* угол *A₁CA* равен 30°, *A₁C* = 4. Найдите площадь треугольника *A₁BC*.
Ответ:
Краткое пояснение: Сначала найдем сторону основания призмы и высоту, затем вычислим площадь треугольника.
Пошаговое решение:
- Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle A_1AC \). В нем \( \angle A_1CA = 30^\circ \), а \( A_1C = 4 \). Тогда, используя определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике, найдем \( AA_1 \):\[AA_1 = A_1C \cdot sin(30^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{2} = 2.\]
- Так как призма правильная, то \( AA_1 \) – это высота призмы, и \( AC = BC = AB \). Найдем \( AC \) из прямоугольного треугольника \( \triangle A_1AC \), используя теорему Пифагора:\[AC = \sqrt{A_1C^2 - AA_1^2} = \sqrt{4^2 - 2^2} = \sqrt{16 - 4} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}.\]
- Теперь рассмотрим треугольник \( \triangle A_1BC \). Найдем его площадь. Заметим, что \( \triangle A_1BC \) – равнобедренный, так как \( A_1B = A_1C = 4 \). Проведем высоту \( A_1H \) к основанию \( BC \). Так как \( \triangle A_1BC \) – равнобедренный, то \( BH = HC = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} = \sqrt{3} \). Тогда, используя теорему Пифагора для треугольника \( \triangle A_1HC \), найдем \( A_1H \):\[A_1H = \sqrt{A_1C^2 - HC^2} = \sqrt{4^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{16 - 3} = \sqrt{13}.\]
- Площадь треугольника \( \triangle A_1BC \) найдем по формуле:\[S_{A_1BC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot A_1H = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{13} = \sqrt{3 \cdot 13} = \sqrt{39}.\]
Ответ: \(\sqrt{39}\)
