В правильной треугольной призме ABC₁A₁B₁C₁ все рёбра которой равны 1, найдите площадь сечения, проходящего через середины рёбер AA₁, BB₁ и B₁C₁.

Обозначим середины рёбер AA₁, BB₁ и B₁C₁ через P, Q и R соответственно. Сечение — треугольник PQR.

1. В прямоугольнике боковой грани ABB₁A₁ отрезок PQ соединяет середины противоположных вертикальных рёбер, поэтому PQ = AB = 1.
2. В треугольнике ABB₁ точки P и Q — середины сторон AA₁ и BB₁? Эти рёбра не принадлежат одной треугольной грани; удобнее рассмотреть координаты. Возьмём A=(0,0,0), B=(1,0,0), C=(1/2,√3/2,0), а верхнее основание на высоте 1. Тогда P=(0,0,1/2), Q=(1,0,1/2), R=(3/4,√3/8,1).
3. По формуле расстояния: PQ=1, PR²=(3/4)²+(√3/8)²+(1/2)²=19/32, и аналогично QR²=19/32. Высота треугольника к основанию PQ равна √(19/32−1/4)=√11/8.
4. Следовательно, S_PQR = (1/2)·1·(√11/8)=√11/16.

Ответ: √11/16.