В правильной треугольной призме ABCA₁B₁C₁, все рёбра которой равны 3, найдите косинус угла между прямыми AM и CN, где M и N — соответственно середины рёбер A₁B₁ и B₁C₁.

Введём координаты: \(A(0,0,0)\), \(B(3,0,0)\), \(C\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt3}{2},0\right)\). Так как высота призмы равна 3, имеем \(A_1(0,0,3)\), \(B_1(3,0,3)\), \(C_1\left(\frac{3}{2},\frac{3\sqrt3}{2},3\right)\).

Найдём координаты середин рёбер:

\[M\left(\frac32,0,3\right),\qquad N\left(\frac94,\frac{3\sqrt3}{4},3\right).\]

Направляющие векторы прямых:

\[\overrightarrow{AM}=\left(\frac32,0,3\right),\qquad \overrightarrow{CN}=\left(\frac34,-\frac{3\sqrt3}{4},3\right).\]

Их скалярное произведение:

\[\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CN}=\frac32\cdot\frac34+3\cdot3=\frac{81}{8}.\]

Длины векторов:

\[|\overrightarrow{AM}|=|\overrightarrow{CN}|=\sqrt{\frac94+9}=\frac{3\sqrt5}{2}.\]

Следовательно,

\[\cos\varphi=\frac{\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{CN}}{|\overrightarrow{AM}|\,|\overrightarrow{CN}|}=\frac{\frac{81}{8}}{\frac{45}{4}}=0.9.\]

Ответ: 0,9.