В правильной треугольной призме АВСА₁В₁С₁ сторона основания равна 3√2, боковое ребро - 3√2, М – центр грани СС₁В₁В. Найдите угол между прямой АМ и плоскостью основания. 1) 45° 2) 60° 3) 30° 4) 15°

Обозначим сторону основания призмы как a, а боковое ребро как h.

\[a = 3\sqrt{2}\]

\[h = 3\sqrt{2}\]

Так как M - центр грани CC₁B₁B, то CM = MB = h/2.

\[CM = \frac{3\sqrt{2}}{2}\]

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACM, где AC = a и CM = h/2.

Пусть угол между прямой AM и плоскостью основания равен α.

Тогда тангенс этого угла равен отношению CM к AC:

\[\tan(\alpha) = \frac{CM}{AC} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{2}\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник AOM, где O - середина BC. Тогда AO - высота равностороннего треугольника ABC, и AO = a√3/2.

\[AO = \frac{3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{3\sqrt{6}}{2}\]

Тогда тангенс угла между AM и плоскостью основания равен отношению MO к AO:

\[\tan(\alpha) = \frac{MO}{AO} = \frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{\frac{3\sqrt{6}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{3}}\]

Таким образом, угол α равен 30°.