1. В правильной треугольной призме, все ребра которой равны, медиана основания составляет 3√3. Найдите площадь боковой поверхности призмы. 2. Диагональ основания правильной пирамиды ТАВСД и её высота равны 4√2. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды. 3. Площадь осевого сечения куба равна 9√2. Найдите полную поверхность куба, ребро которого в два раза больше ребра данного куба.

Задача 1:

В правильной треугольной призме все ребра равны, то есть призма состоит из двух равносторонних треугольников и трех квадратов. Медиана равностороннего треугольника, проведенная к основанию, также является его высотой. Обозначим сторону основания призмы как \(a\). Тогда медиана равна \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).

Из условия задачи, медиана основания составляет \(3\sqrt{3}\). Следовательно:

\[\frac{a\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}\]

Решаем уравнение относительно \(a\):

\[a = \frac{2 \cdot 3\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 6\]

Таким образом, сторона основания призмы равна 6.

Площадь боковой поверхности призмы состоит из трех квадратов со стороной \(a = 6\). Площадь одного квадрата равна \(a^2 = 6^2 = 36\). Следовательно, площадь боковой поверхности призмы равна:

\[3 \cdot 36 = 108\]

Ответ: 108

Задача 2:

Диагональ основания правильной пирамиды ТАВСД равна \(4\sqrt{2}\). Поскольку основание правильной пирамиды – квадрат, сторона основания равна \(a\), где \(a\sqrt{2} = 4\sqrt{2}\), следовательно, \(a = 4\). Высота пирамиды равна \(4\sqrt{2}\).

Для нахождения площади боковой поверхности пирамиды, нужно знать апофему (высоту боковой грани). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды, половиной стороны основания и апофемой. По теореме Пифагора, апофема \(l\) равна:

\[l = \sqrt{h^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{(4\sqrt{2})^2 + (\frac{4}{2})^2} = \sqrt{32 + 4} = \sqrt{36} = 6\]

Площадь одной боковой грани (треугольника) равна:

\[S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot l = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 6 = 12\]

Так как у пирамиды 4 боковые грани, площадь боковой поверхности равна:

\[4 \cdot 12 = 48\]

Ответ: 48

Задача 3:

Площадь осевого сечения куба равна \(9\sqrt{2}\). Осевое сечение куба – это прямоугольник, одна сторона которого – ребро куба \(a\), а другая – диагональ грани куба, равная \(a\sqrt{2}\). Тогда площадь осевого сечения равна:

\[a \cdot a\sqrt{2} = a^2\sqrt{2} = 9\sqrt{2}\]

Решаем уравнение относительно \(a\):

\[a^2 = 9 \Rightarrow a = 3\]

Ребро данного куба равно 3. Ребро нового куба в два раза больше, то есть равно \(2 \cdot 3 = 6\).

Площадь полной поверхности куба равна \(6a^2\). Для нового куба с ребром 6:

\[S_{\text{полн}} = 6 \cdot 6^2 = 6 \cdot 36 = 216\]

Ответ: 216