В правильной треугольной усеченной пирамиде стороны оснований равны 6 см и 8 см, а боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 1) 39√3 см² 2) 7 + 25√3 см² 3) 14 + 25√3 см² 4) 39 см²

Пошаговое решение:

1. Площадь нижнего основания (правильный треугольник со стороной 8 см):

   \[S_{осн1} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3} \text{ см}^2\]

2. Площадь верхнего основания (правильный треугольник со стороной 6 см):

   \[S_{осн2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{6^2\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \text{ см}^2\]

3. Апофема боковой грани (высота трапеции). Угол наклона боковой грани к основанию 30 градусов. Разность сторон оснований равна 8 - 6 = 2 см. Половина разности равна 1 см.

   \[h = \frac{1}{tg(30^\circ)} = \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{3}}} = \sqrt{3} \text{ см}\]

4. Площадь одной боковой грани (трапеция):

   \[S_{бок.грани} = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{8 + 6}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{14}{2} \cdot \sqrt{3} = 7\sqrt{3} \text{ см}^2\]

5. Площадь боковой поверхности (три боковые грани):

   \[S_{бок} = 3 \cdot S_{бок.грани} = 3 \cdot 7\sqrt{3} = 21\sqrt{3} \text{ см}^2\]

6. Площадь полной поверхности пирамиды:

   \[S_{полн} = S_{осн1} + S_{осн2} + S_{бок} = 16\sqrt{3} + 9\sqrt{3} + 21\sqrt{3} = 46\sqrt{3} \text{ см}^2\]

Ответ: Ни один из предложенных вариантов не является верным. Правильный ответ: 46√3 см²