В правильную четырехугольную пирамиду с объемом 288/p вписан конус. Найдите его объем.

Рассмотрим правильную четырехугольную пирамиду, в основании которой лежит квадрат, и конус, вписанный в эту пирамиду.

Шаг 1: Анализ условия.

• Объем пирамиды равен V_пирамиды = 288/π
• Нужно найти объем вписанного конуса V_конуса

Шаг 2: Запишем формулы объемов пирамиды и конуса.

• V_пирамиды = 1/3 * S_осн * h, где S_осн - площадь основания пирамиды, h - высота.
• V_конуса = 1/3 * π * r^2 * h, где r - радиус основания конуса, h - высота.

Шаг 3: Выразим площадь основания пирамиды через радиус основания конуса.

Т.к. конус вписан в пирамиду, то радиус основания конуса равен половине стороны основания пирамиды (квадрата). Тогда сторона квадрата равна 2r, а площадь квадрата равна (2r)^2 = 4r^2

Шаг 4: Составим отношение объемов пирамиды и конуса.

\[\frac{V_{\text{пирамиды}}}{V_{\text{конуса}}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot S_{\text{осн}} \cdot h}{\frac{1}{3} \cdot \pi \cdot r^2 \cdot h} = \frac{S_{\text{осн}}}{\pi r^2} = \frac{4r^2}{\pi r^2} = \frac{4}{\pi}\]

Шаг 5: Выразим объем конуса через объем пирамиды.

\[V_{\text{конуса}} = V_{\text{пирамиды}} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{288}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} = 72\]

Шаг 6: Вычислим объем конуса.

\[V_{\text{конуса}} = \frac{288}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = 96\]