В правильную пирамиду вписана сфера. Высота пирамиды равна 8, а апофема 10. Найдите радиус вписанной сферы.

Привет! Давай решим эту задачу по стереометрии. Речь идет о правильной пирамиде и вписанной в нее сфере. Нужно найти радиус этой сферы.

Дано:

• Правильная пирамида.
• Высота пирамиды (H) = 8.
• Апофема (l) = 10.

Найти: Радиус вписанной сферы (r).

Решение:

В правильной пирамиде радиус вписанной сферы можно найти, используя соотношение объема пирамиды и площади ее полной поверхности, но есть и более простой способ, если рассмотреть осевое сечение пирамиды.

Осевое сечение правильной пирамиды — это равнобедренный треугольник. В нашем случае, поскольку основание пирамиды — квадрат (так как она правильная), осевое сечение будет равнобедренным треугольником, в который вписана окружность (это осевое сечение вписанной сферы).

1. Найдем сторону основания пирамиды:

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), апофемой (l) и радиусом окружности, вписанной в основание (r_осн). Апофема — это гипотенуза.

   По теореме Пифагора:

   \[ H^2 + r_{осн}^2 = l^2 \]

   \[ 8^2 + r_{осн}^2 = 10^2 \]

   \[ 64 + r_{осн}^2 = 100 \]

   \[ r_{осн}^2 = 100 - 64 = 36 \]

   \[ r_{осн} = \sqrt{36} = 6 \]

   Радиус окружности, вписанной в основание (r_осн), равен половине стороны основания (a) для квадрата:

   \[ r_{осн} = \frac{a}{2} \]

   \[ 6 = \frac{a}{2} \]

   \[ a = 12 \]

   Сторона основания пирамиды равна 12.

2. Найдем радиус вписанной сферы:

   В правильной пирамиде радиус вписанной сферы (r) равен отношению объема пирамиды (V) к площади полной поверхности пирамиды (S_полн).

   \[ r = \frac{V}{S_{полн}} \]

   Однако, для правильной четырехугольной пирамиды существует более простая формула, связывающая высоту (H), апофему (l) и радиус вписанной сферы (r). Эта формула выводится из подобия треугольников в осевом сечении:

   \[ r = \frac{H \cdot r_{осн}}{l + r_{осн}} \]

   Где:

   • H — высота пирамиды
   • r_осн — радиус вписанной окружности в основание
   • l — апофема

   Подставим наши значения:

   \[ r = \frac{8 \cdot 6}{10 + 6} \]

   \[ r = \frac{48}{16} \]

   \[ r = 3 \]

Ответ: 3