В19 При делении некоторого натурального двузначного числа на сумму его цифр неполное частное равно 7, а остаток равен 3. Если цифры данного числа поменять местами и полученное число разделить на сумму его цифр, то неполное частное будет равно 3, а остаток будет равен 10. Найдите исходное число.

Пусть двузначное число равно $$10a + b$$, где $$a$$ и $$b$$ - цифры числа.

Сумма цифр числа равна $$a + b$$.

По условию задачи, при делении числа на сумму его цифр неполное частное равно 7, а остаток равен 3. Запишем это в виде уравнения:

$$10a + b = 7(a + b) + 3$$

Если цифры данного числа поменять местами, то получится число $$10b + a$$. При делении этого числа на сумму его цифр неполное частное будет равно 3, а остаток будет равен 10. Запишем это в виде уравнения:

$$10b + a = 3(a + b) + 10$$

Получаем систему уравнений:

$$\begin{cases} 10a + b = 7(a + b) + 3 \\ 10b + a = 3(a + b) + 10 \end{cases}$$

Решим эту систему уравнений:

$$\begin{cases} 10a + b = 7a + 7b + 3 \\ 10b + a = 3a + 3b + 10 \end{cases}$$

$$\begin{cases} 3a - 6b = 3 \\ -2a + 7b = 10 \end{cases}$$

$$\begin{cases} a - 2b = 1 \\ -2a + 7b = 10 \end{cases}$$

Из первого уравнения выразим $$a$$:

$$a = 2b + 1$$

Подставим это во второе уравнение:

$$-2(2b + 1) + 7b = 10$$

$$-4b - 2 + 7b = 10$$

$$3b = 12$$

$$b = 4$$

Теперь найдем $$a$$:

$$a = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9$$

Итак, $$a = 9$$ и $$b = 4$$. Исходное число равно $$10a + b = 10(9) + 4 = 94$$.

Проверим:

Сумма цифр числа 94 равна $$9 + 4 = 13$$.

При делении 94 на 13 получаем:

$$94 = 7 \cdot 13 + 3$$

При делении 49 на 13 получаем:

$$49 = 3 \cdot 13 + 10$$

Оба условия выполнены.

Ответ: 94