В. Признак прямоугольника. Признак прямоугольника является теоремой, обратной теореме — свойству прямоугольника. Сформулируйте и докажите признак прямоугольника. Заполните пропуски: «Формулируя обратную теорему, надо поменять местами условие и ___ данной теоремы». «Свойство прямоугольника: “Если параллелограмм является ___, то его ___ равны”». «Признак прямоугольника: “Если в параллелограмме ___ равны, то он является ___”».

При формулировке обратной теоремы надо поменять местами условие и заключение данной теоремы.

Свойство прямоугольника: «Если параллелограмм является прямоугольником, то его диагонали равны».

Признак прямоугольника: «Если в параллелограмме диагонали равны, то он является прямоугольником».

Доказательство. Пусть дан параллелограмм ABCD, у которого диагонали AC и BD равны. Рассмотрим треугольники ABC и BAD.

1. AB — общая сторона треугольников.
2. BC = AD как противоположные стороны параллелограмма.
3. AC = BD по условию.

Следовательно, треугольники ABC и BAD равны по трём сторонам. Поэтому углы ABC и BAD равны. Эти углы являются смежными, так как BC ∥ AD, а AB — секущая. Сумма смежных углов равна 180°, а равные смежные углы каждый равен 90°.

Значит, параллелограмм ABCD имеет прямой угол, поэтому он является прямоугольником.

Ответ: диагонали равного по диагоналям параллелограмма взаимно перпендикулярными не становятся; равенство диагоналей доказывает наличие прямого угла, следовательно, параллелограмм является прямоугольником.