В произвольном \( \triangle ABC \) выбраны точки \( P \) и \( Q \) на сторонах \( AB \) и \( BC \) так, что \( AP = PB \) и \( BQ = QC \). Доказать, что \( PQ \parallel AC \).

Доказательство:

Рассмотрим \( \triangle ABC \) и точки \( P \) на стороне \( AB \) и \( Q \) на стороне \( BC \).

По условию задачи дано, что \( AP = PB \) и \( BQ = QC \).

Это означает, что точка \( P \) является серединой стороны \( AB \), а точка \( Q \) является серединой стороны \( BC \).

Отрезок \( PQ \) соединяет середины двух сторон треугольника.

Согласно теореме о средней линии треугольника, отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, параллелен третьей стороне и равен половине её длины.

Таким образом, отрезок \( PQ \) параллелен стороне \( AC \) и \( PQ = \frac{1}{2} AC \).

Что и требовалось доказать.

Доказано.