В прямом круговом цилиндре проведена образующая NN1, точка N лежит в нижнем основании. Отрезок КМ1 пересекает ось цилиндра, а точки К и М₁ лежат на окружностях нижнего и верхнего основания соответственно. а) Докажите, что треугольник KNM₁ прямоугольный. б) Найдите расстояние от точки N до прямой КМ1, если KN = 9, NN₁ = 20√3, N₁M1 = 20.

Решение

a) Доказательство:

Т.к. К и M₁ лежат на окружностях нижнего и верхнего основания соответственно, KN и N₁M₁ являются хордами этих окружностей. Отрезок KM₁ пересекает ось цилиндра. Поскольку NN₁ образующая цилиндра, то NN₁ перпендикулярна плоскостям оснований цилиндра. Таким образом, NN₁ перпендикулярна KN и N₁M₁.

Рассмотрим треугольник KNM₁. По теореме о трех перпендикулярах, если проекция прямой на плоскость перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости, то и сама прямая перпендикулярна этой прямой. В данном случае NN₁ перпендикулярна плоскости нижнего основания, значит, NN₁ перпендикулярна KN и N₁M₁ . Следовательно, треугольники KNN₁ и NN₁M₁ прямоугольные.

KNM₁ - прямоугольный, то есть угол KNM₁ = 90°.

б) Найдем расстояние от точки N до прямой КМ₁:

Пусть это расстояние равно h. Площадь треугольника KNM₁ можно выразить двумя способами: через основание и высоту, проведенную к этому основанию, и через две стороны и угол между ними.

Площадь треугольника KNM₁: S = 1/2 * KN * N₁M₁ = 1/2 * 9 * 20 = 90

Найдем KM₁ по теореме Пифагора из треугольника KNM₁:

KM₁ = √ (KN² + N₁M₁²) = √(9² + 20²) = √481

Площадь треугольника KNM₁ также равна: S = 1/2 * KM₁ * h

90 = 1/2 * √481 * h

h = 180 / √481

h ≈ 8.2

Ответ: 180 / √481 ≈ 8.2

У тебя все получится! Не останавливайся на достигнутом и продолжай изучать математику с таким же энтузиазмом!