В прямом параллелепипеде ABCDABCD₁ точки К и М – середины ребер AD и DD₁ соответственно. Запишите векторы с началом и концом в вершинах параллелепипеда, которые: 1) противоположно направлены вектору КМ; 3) имеют длину, равную длине вектора А₁В. 2) сонаправлены с вектором DC 2. ABCDABCD₁ – параллелепипед. Укажите вектор равный а) BC+C₁D₁+A₁A+DB₁ 6) AC+ BB₁ +BA+ D₁B+B₁D₁+DC

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно вспомнить свойства векторов и параллелепипеда.

1. Векторы, противоположно направленные вектору КМ:

• Точки К и М являются серединами ребер AD и DD₁ соответственно.
• Вектор КМ связывает эти точки.
• Чтобы найти противоположно направленный вектор, нам нужно рассмотреть векторы, которые идут в противоположную сторону относительно КМ.
• В параллелепипеде ABCDABCD₁ ребра AD и DD₁ перпендикулярны, поэтому вектор КМ будет иметь определенное направление.
• Векторы, противоположные КМ, будут иметь такое же направление, как и вектор МК.
• В вершинах параллелепипеда, противоположно направленными вектору КМ, будут векторы, идущие из конца К в начало М, или аналогичные по направлению векторы, например, векторы, построенные по диагоналям граней, если их направление совпадает с МК.
• Например, если К - середина AD, а М - середина DD₁, то вектор КМ можно представить как сумму векторов, например, DA/2 + DD₁/2. Тогда противоположно направленный вектор будет иметь направление, обратное этому.
• Противоположно направленные векторы КМ: МК.
• Если рассматривать векторы, исходящие из вершин, то нам нужно найти такие векторы, которые по направлению совпадают с МК.
• Например, вектор, идущий от середины AD к середине DD₁ (КМ), будет иметь некоторое направление. Вектор, идущий от середины DD₁ к середине AD (МК), будет противоположным.
• Если искать векторы, противоположные КМ, среди векторов, начинающихся в вершинах, то это будет вектор, направленный от середины DD₁ к середине AD, то есть вектор МК.
• Для поиска векторов, противоположных КМ, среди векторов, начинающихся в вершинах, мы можем рассмотреть диагонали граней.
• Рассмотрим вектор А₁С. Он не будет противоположно направлен КМ.
• Для точного определения противоположно направленных векторов, нужно знать конкретные координаты вершин или представить вектор КМ как сумму базисных векторов (например, AB, AD, AA₁).
• Пусть AB = a, AD = b, AA₁ = c. Тогда K = D + 1/2 AD = b + 1/2 b = 1/2 b. M = D₁ + 1/2 DD₁ = b + c + 1/2 c = b + 3/2 c. КМ = M - K = (b + 3/2 c) - 1/2 b = 1/2 b + 3/2 c.
• Тогда вектор, противоположный КМ, будет -КМ = -1/2 b - 3/2 c.
• Ищем векторы в вершинах, которые будут равны -1/2 b - 3/2 c.
• Например, вектор D₁A = -b. Вектор CB₁ = c.
• Если рассмотреть вектор A₁D₁ = -b, то это не подходит.
• Рассмотрим вектор C₁B = -c.
• Ищем векторы, противоположные КМ.
• Например, вектор AC = b + a.
• Вектор BD₁ = -a + c.
• Вектор CA₁ = -a - c.
• Среди векторов, начинающихся в вершинах, нам нужно найти такие, которые будут эквивалентны -1/2 b - 3/2 c.
• Таких векторов, исходящих из вершин, нет. В этом случае, вероятно, имеется в виду вектор МК.

2. Векторы, сонаправленные с вектором DC:

• В параллелепипеде ABCDABCD₁, векторы AB, DC, A₁B₁, D₁C₁ сонаправлены.
• Сонаправленные векторы DC: AB, A₁B₁, D₁C₁.

3. Векторы, имеющие длину, равную длине вектора А₁В:

• Длина вектора А₁В равна длине ребра AB.
• В параллелепипеде ABCDABCD₁, длины противоположных ребер равны.
• Векторы, имеющие длину, равную длине вектора А₁В: AB, DC, A₁B₁, D₁C₁.
• Также, если параллелепипед прямой, то длины вертикальных ребер (AA₁, BB₁, CC₁, DD₁) могут отличаться.
• Если в условии не указано, что параллелепипед прямоугольный, то длины диагоналей граней будут разными.
• Длина вектора А₁В равна длине ребра AB.
• Векторы, имеющие такую же длину: AB, DC, A₁B₁, D₁C₁.

2. Укажите вектор, равный:

а) BC+C₁D₁+A₁A+DB₁

• BC = AD = B₁A₁ = C₁D₁
• C₁D₁ = BA = C B
• A₁A = D₁D = B₁C = A D
• DB₁ = DA + AB₁ = -AD + AB + AA₁
• BC + C₁D₁ + A₁A + DB₁ = BC + C₁D₁ + A₁A + (-AD + AB + AA₁)
• Заменим векторы:
• BC = AD
• C₁D₁ = BA = -AB
• A₁A
• DB₁ = DA + AB₁ = -AD + AB + AA₁
• BC + C₁D₁ + A₁A + DB₁ = AD + (-AB) + A₁A + (-AD + AB + AA₁) = AD - AB + A₁A - AD + AB + AA₁ = 2 AA₁.
• Вектор равен 2AA₁.
• Давайте проверим еще раз, используя базисные векторы: AB=a, AD=b, AA₁=c.
• BC = b
• C₁D₁ = -a
• A₁A = -c
• DB₁ = D₁B = D₁A + AB = -b + a
• BC + C₁D₁ + A₁A + DB₁ = b + (-a) + (-c) + (-b + a) = b - a - c - b + a = -c.
• -c = -AA₁ = A A₁ (вектор, но с противоположным направлением).
• -c = A₁A.
• Таким образом, BC + C₁D₁ + A₁A + DB₁ = A₁A.

б) AC+ BB₁ +BA+ D₁B+B₁D₁+DC

• AC = AB + BC = AB + AD
• BB₁ = AA₁
• BA = -AB
• D₁B = D₁A + AB = -AD + AB
• B₁D₁ = B₁A₁ + A₁D₁ = AB + (-AD) = AB - AD
• DC = AB
• AC + BB₁ + BA + D₁B + B₁D₁ + DC = (AB + AD) + AA₁ + (-AB) + (-AD + AB) + (AB - AD) + AB
• = AB + AD + AA₁ - AB - AD + AB + AB - AD + AB
• = (AB - AB + AB + AB + AB) + (AD - AD - AD) + AA₁
• = 3 AB - AD + AA₁.
• Это сложный вектор. Давайте попробуем по-другому.
• AC = AB + BC
• BB₁ = AA₁
• BA = -AB
• D₁B = D₁A + AB
• B₁D₁ = B₁A₁ + A₁D₁ = AB - AD
• DC = AB
• AC + BB₁ + BA + D₁B + B₁D₁ + DC = (AB + BC) + AA₁ + (-AB) + (D₁A + AB) + (B₁A₁ + A₁D₁) + DC
• = AB + BC + AA₁ - AB + D₁A + AB + AB + A₁D₁ + DC
• = BC + AA₁ + AB + D₁A + AB + A₁D₁ + DC
• = BC + AA₁ + 2AB + D₁A + A₁D₁ + DC
• Заменим векторы:
• AC = AB + AD
• BB₁ = AA₁
• BA = -AB
• D₁B = D₁A + AB = -AD + AB
• B₁D₁ = B₁A₁ + A₁D₁ = AB - AD
• DC = AB
• AC + BB₁ + BA + D₁B + B₁D₁ + DC = (AB + AD) + AA₁ + (-AB) + (-AD + AB) + (AB - AD) + AB
• = AB + AD + AA₁ - AB - AD + AB + AB - AD + AB
• = (AB - AB + AB + AB + AB) + (AD - AD - AD) + AA₁ = 3AB - AD + AA₁.
• Давайте попробуем иначе, группируя.
• AC + CB = AB
• BB₁ = AA₁
• BA
• D₁B
• B₁D₁
• DC
• AC + BB₁ + BA + D₁B + B₁D₁ + DC = AC + BB₁ + BA + D₁B₁ + B₁A₁ + A₁D₁ + DC
• AC + CB + BB₁ + BA + D₁B + B₁D₁ + DC = AB + BB₁ + BA + D₁B + B₁D₁ + DC
• = AB + AA₁ + (-AB) + D₁B + B₁D₁ + DC = AA₁ + D₁B + B₁D₁ + DC
• D₁B + B₁D₁ = D₁D₁ = 0 (вектор нулевой)
• AC + BB₁ + BA + D₁B + B₁D₁ + DC = AC + BB₁ + BA + D₁B₁ + A₁D₁ + DC
• = AC + BB₁ + BA + D₁A + AB + A₁D₁ + DC
• AC + BA = BC
• BC + BB₁ + D₁A + AB + A₁D₁ + DC
• = BC + AA₁ + D₁A + AB + A₁D₁ + AB
• = BC + AA₁ + D₁A + 2AB + A₁D₁
• = BC + AA₁ + D₁A + 2AB - AD
• = BC + AA₁ + D₁A + 2AB - BC
• = AA₁ + D₁A + 2AB
• = AA₁ + DC + AB + AB
• = AA₁ + AB + AB + AB
• = AA₁ + 3AB.
• Проверим еще раз:
• AC + BB₁ + BA + D₁B + B₁D₁ + DC
• = (AB + BC) + AA₁ + (-AB) + (D₁A + AB) + (B₁A₁ + A₁D₁) + DC
• = AB + BC + AA₁ - AB + D₁A + AB + AB + A₁D₁ + DC
• = BC + AA₁ + AB + D₁A + AB + A₁D₁ + DC
• = BC + AA₁ + 2AB + D₁A + A₁D₁ + DC
• BC = AD
• AA₁
• AB
• D₁A = -AD
• A₁D₁ = -AD
• DC = AB
• = AD + AA₁ + 2AB - AD + (-AD) + AB = AA₁ + 3AB - AD.
• Есть ли более простой ответ?
• AC+CB = AB
• AC + BB₁ + BA + D₁B + B₁D₁ + DC = AC + BB₁ + BA + D₁B + B₁D₁ + AB
• AC + BA = BC
• BC + BB₁ + D₁B + B₁D₁ + AB
• = BC + AA₁ + D₁B + B₁D₁ + AB
• D₁B + B₁D₁ = D₁D₁ = 0 (нулевой вектор)
• = BC + AA₁ + AB = AD + AA₁ + AB
• = AD + AB + AA₁ = AC₁.
• Проверим: AC + BB₁ + BA + D₁B + B₁D₁ + DC = AC + BA + BB₁ + D₁B + B₁D₁ + DC
• = BC + BB₁ + D₁B + B₁D₁ + DC
• = BC + AA₁ + D₁B + B₁D₁ + AB
• D₁B + B₁D₁ = D₁D₁ = 0
• = BC + AA₁ + AB = AD + AA₁ + AB = AC₁

Ответ:

• 1) Противоположно направленный вектору КМ: МК.
• 2) Сонаправленные с вектором DC: AB, A₁B₁, D₁C₁.
• 3) Имеющие длину, равную длине вектора А₁В: AB, DC, A₁B₁, D₁C₁.
• 2а) BC+C₁D₁+A₁A+DB₁ = A₁A.
• 2б) AC+ BB₁ +BA+ D₁B+B₁D₁+DC = AC₁.