Решение

Пусть дан прямой параллелепипед $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$, у которого $$AB = 3 ext{ см}$$, $$AD = 5 ext{ см}$$, и одна из диагоналей основания, например, $$BD = 4 ext{ см}$$. Меньшая диагональ параллелепипеда, например, $$B_1D$$, образует с плоскостью основания угол $$60^{circ}$$, то есть $$angle B_1DB = 60^{circ}$$. Необходимо найти большую диагональ параллелепипеда, т.е. $$A_1C$$.

1) Рассмотрим основание параллелепипеда $$ABCD$$. По теореме косинусов, для угла $$angle A$$ имеем:

$$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 cdot AB cdot AD cdot cos{angle A}$$ $$4^2 = 3^2 + 5^2 - 2 cdot 3 cdot 5 cdot cos{angle A}$$ $$16 = 9 + 25 - 30 cdot cos{angle A}$$ $$30 cdot cos{angle A} = 18$$ $$cos{angle A} = rac{18}{30} = rac{3}{5}$$

Тогда $$angle A = arccos(rac{3}{5})$$. Так как $$angle A$$ тупой (т.к. квадрат диагонали $$BD$$ меньше суммы квадратов сторон $$AB$$ и $$AD$$), то $$angle A > 90^{circ}$$. Значит, $$angle B$$ острый, и диагональ $$AC$$ является большей диагональю основания.

2) Найдем $$AC$$ по теореме косинусов:

$$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 cdot AB cdot BC cdot cos{angle B}$$

Так как $$angle A$$ и $$angle B$$ - смежные углы параллелограмма, то $$angle A + angle B = 180^{circ}$$, следовательно, $$angle B = 180^{circ} - angle A$$ и $$cos{angle B} = cos{(180^{circ} - angle A)} = -cos{angle A} = -rac{3}{5}$$. Подставим в формулу:

$$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2 cdot 3 cdot 5 cdot (-rac{3}{5})$$ $$AC^2 = 9 + 25 + 18$$ $$AC^2 = 52$$ $$AC = sqrt{52} = 2sqrt{13} ext{ см}$$

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$B_1DB$$. $$B_1D$$ - меньшая диагональ параллелепипеда, образующая с плоскостью основания угол $$60^{circ}$$. Тогда:

$$ an{60^{circ}} = rac{BB_1}{BD}$$ $$BB_1 = BD cdot an{60^{circ}} = 4 cdot sqrt{3} ext{ см}$$

4) Найдем большую диагональ параллелепипеда $$A_1C$$ из прямоугольного треугольника $$A_1CC$$.

$$A_1C^2 = AC^2 + CC_1^2$$ $$A_1C^2 = (2sqrt{13})^2 + (4sqrt{3})^2$$ $$A_1C^2 = 52 + 48$$ $$A_1C^2 = 100$$ $$A_1C = sqrt{100} = 10 ext{ см}$$

Ответ: 10 см.