В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D пересекает сторону AB в точке M. Докажите, что △ADM — равнобедренный. Найдите периметр прямоугольника, если сторона AB оказалась разбита на отрезки длиной 3 см и 5 см. Сколько решений имеет задача?

Пусть биссектриса угла D пересекает AB в точке M. В прямоугольнике ∠DAB = 90°, поэтому ∠DAM = 90°. Так как DM — биссектриса прямого угла D, то ∠ADM = 45°. Тогда ∠AMD = 180° − 90° − 45° = 45°.

В треугольнике ADM равные углы лежат против равных сторон, следовательно, AM = AD. Значит, △ADM равнобедренный.

Отрезки AM и MB имеют длины 3 см и 5 см, поэтому AB = 3 + 5 = 8 см. Поскольку AD = AM, возможны два случая: AD = 3 см или AD = 5 см.

1. При AD = 3 см: P = 2(AB + AD) = 2(8 + 3) = 22 см.
2. При AD = 5 см: P = 2(AB + AD) = 2(8 + 5) = 26 см.

Ответ: 22 см или 26 см; задача имеет 2 решения.