В прямоугольнике ABCD BM=14, MC=21, прямые AM и CD пересекаются в точке К. Найдите KD, если AB=16.

Решение:

В прямоугольнике ABCD стороны AB и CD параллельны, а BC и AD параллельны.

Прямые AM и CD пересекаются в точке K. Это значит, что точки A, M, K лежат на одной прямой.

Рассмотрим треугольники ABM и KCM. Угол BAM равен углу CKМ (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и CK и секущей AK).

Угол ABM равен углу KCM (накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей BK).

Угол AMB равен углу KMC (вертикальные углы).

Следовательно, треугольники ABM и KCM подобны по первому признаку подобия (по двум углам).

Из подобия треугольников следует равенство отношений их соответствующих сторон:

\[ \frac{AB}{KC} = \frac{BM}{MC} = \frac{AM}{KM} \]

По условию:

• AB = 16
• BM = 14
• MC = 21

Подставим известные значения в пропорцию:

\[ \frac{16}{KC} = \frac{14}{21} \]

Решим пропорцию относительно KC:

\[ KC = \frac{16 \cdot 21}{14} \]

Сократим 21 и 14 на 7:

\[ KC = \frac{16 \cdot 3}{2} \]

Сократим 16 и 2:

\[ KC = 8 \cdot 3 = 24 \]

Теперь рассмотрим треугольники ADK и MCK. Угол DAK равен углу CMK (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и MC и секущей AK).

Угол ADK равен углу MCK (накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и MC и секущей DK).

Угол AKD равен углу MKC (общий угол).

Следовательно, треугольники ADK и MCK подобны по первому признаку подобия.

Из подобия треугольников следует равенство отношений их соответствующих сторон:

\[ \frac{AD}{MC} = \frac{DK}{CK} = \frac{AK}{MK} \]

В прямоугольнике ABCD, AD = BC.

BC = BM + MC = 14 + 21 = 35.

Следовательно, AD = 35.

Подставим известные значения в пропорцию:

\[ \frac{35}{21} = \frac{DK}{24} \]

Решим пропорцию относительно DK:

\[ DK = \frac{35 \cdot 24}{21} \]

Сократим 35 и 21 на 7:

\[ DK = \frac{5 \cdot 24}{3} \]

Сократим 24 и 3:

\[ DK = 5 \cdot 8 = 40 \]

Ответ: KD = 40.