В прямоугольнике ABCD диагональ АС равна 12 см, угол AOD в 2 раза меньше угла АОВ . Найдите периметр (в см) треугольника ОВС.

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит, $$AO = OC = BO = OD = \frac{AC}{2} = \frac{12}{2} = 6 \text{ см}$$.

Угол $$AOD$$ и угол $$AOB$$ - смежные, следовательно, их сумма равна $$180^\circ$$.

Пусть $$∠AOD = x$$, тогда $$∠AOB = 2x$$. Составим уравнение:

$$x + 2x = 180^\circ$$

$$3x = 180^\circ$$

$$x = 60^\circ$$

Следовательно, $$∠AOD = 60^\circ$$, $$∠AOB = 120^\circ$$.

Углы $$AOD$$ и $$BOC$$ равны как вертикальные, значит, $$∠BOC = 60^\circ$$.

Так как $$BO = OC$$, то треугольник $$BOC$$ - равнобедренный с углом $$60^\circ$$ при вершине, следовательно, он равносторонний, и $$BC = BO = OC = 6 \text{ см}$$.

Периметр треугольника $$OBC$$ равен сумме длин его сторон:

$$P_{OBC} = OB + BC + OC = 6 + 6 + 6 = 18 \text{ см}$$.

Ответ: 18