В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O, ∠BOA = 60°, ВК ⊥ АО. Найди диагональ АС, если АК = 7 см.

Решение:

В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам: \( AO = BO = CO = DO \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle BOA \). Он равнобедренный, так как \( AO = BO \). Угол \( ∠ BOA = 60° \). Следовательно, \( ∠ BAO = ∠ ABO = (180° - 60°) / 2 = 60° \). Таким образом, \( ∠ BOA \) — равносторонний треугольник.

В равностороннем треугольнике \( \triangle BOA \) проведём высоту \( BK \) к стороне \( AO \). В равностороннем треугольнике высота также является медианой. Значит, \( AK = KO \).

Нам дано, что \( AK = 7 \) см.

Так как \( AK = KO \), то \( KO = 7 \) см.

Длина отрезка \( AO \) равна сумме \( AK \) и \( KO \): \( AO = AK + KO = 7 + 7 = 14 \) см.

Диагональ \( AC \) равна двум радиусам описанной окружности (или удвоенной длине половины диагонали): \( AC = 2 × AO \).

\( AC = 2 × 14 \) см = \( 28 \) см.

Ответ: 28 см