В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. E — середина стороны AB. ∠BAC = 50°. Найдите угол EOD.

Поскольку E лежит на AB, луч AE совпадает с лучом AB, поэтому ∠OAE = ∠BAC = 50°.

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам, значит OA = OB = OC = OD. В частности, треугольник AOD равнобедренный, а ∠OAD = 90° − 50° = 40°. Следовательно, ∠ADO = 40°.

Так как E — середина AB, а O — центр прямоугольника, в треугольнике AOB отрезок EO соединяет середины сторон AB и AO? Точка O не является серединой AO; поэтому применим координаты: зададим A=(0,0), B=(w,0), D=(0,h). Из ∠BAC=50° получаем h/w=tan 50°. Тогда E=(w/2,0), O=(w/2,h/2), а D=(0,h). Отрезок EO вертикален и параллелен AD. Угол между OD и вертикалью равен углу между диагональю OD и стороной AD: это 40°.

Ответ: ∠EOD = 40°.