В прямоугольнике ABCD отметили середины сторон AD и BC — точки M и N соответственно. На луче CD за точку D отметили точку P; Q — точка пересечения прямых PM и AC. Докажите, что ∠QNM = ∠MNP.

Обозначим длину прямоугольника AB через w, а длину AD через h. Введём координаты: A(0; 0), B(w; 0), C(w; h), D(0; h). Тогда M(0; h/2), N(w; h/2). Пусть P(−t; h), где t > 0, поскольку P лежит на луче CD за точкой D.

1. Прямая PM имеет угловой коэффициент \(\frac{h/2}{t}\). Прямая AC имеет угловой коэффициент \(\frac{h}{w}\). Их пересечение Q лежит на AC и PM. Из равенства уравнений этих прямых получаем координаты \(Q\left(\frac{wt}{w+2t};\frac{ht}{w+2t}\right)\).
2. Отрезок NM горизонтален. Поэтому тангенс угла QNM равен отношению вертикального изменения от N к Q к горизонтальному: \(\tan\angle QNM=\frac{h/2-ht/(w+2t)}{w-wt/(w+2t)}=\frac{h}{2(w+t)}\).
3. Для угла MNP вертикальное изменение от N к P равно h/2, а горизонтальное — w+t. Значит, \(\tan\angle MNP=\frac{h/2}{w+t}=\frac{h}{2(w+t)}\).
4. Оба угла острые, и их тангенсы равны, следовательно, углы равны.

Что и требовалось доказать.