В прямоугольнике ABCD задана сторона AD = a, CD = b, O — точка пересечения диагоналей. Найдите величину |AB + AD − BC − OD|.

В прямоугольнике противоположные стороны равны и параллельны, поэтому векторы \(\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}\). Диагонали пересекаются и делятся пополам, значит \(\overrightarrow{OD}=\frac12\overrightarrow{BD}\).

Тогда \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{OD}\). Выберем координаты: \(A=(0,0), D=(a,0), C=(a,b), B=(0,b)\). Тогда \(\overrightarrow{AB}=(0,b)\), а \(\overrightarrow{OD}=(a/2,-b/2)\).

Следовательно, искомый вектор равен \((-a/2,3b/2)\), а его длина равна \(\sqrt{a^2+9b^2}/2\).

Ответ: \(\frac{\sqrt{a^2+9b^2}}{2}\).