В прямоугольнике MPKH O — точка пересечения диагоналей, PA и HB — перпендикуляры, проведённые из вершин P и H к прямой MK. Известно, что MA = OB. Найдите угол POM.

Обозначим стороны прямоугольника: \(MP=KH=a\), \(PH=MK=b\). Введём координаты: \(M(0,0)\), \(P(a,0)\), \(H(0,b)\), \(K(a,b)\). Тогда \(O\left(\frac a2,\frac b2\right)\).

Прямая \(MK\) имеет направляющий вектор \((a,b)\), а его квадрат длины равен \(a^2+b^2\). Параметры проекций точек \(P\) и \(H\) на эту прямую равны соответственно \(\frac{a^2}{a^2+b^2}\) и \(\frac{b^2}{a^2+b^2}\). Поэтому

\[MA=\frac{a^2}{\sqrt{a^2+b^2}},\qquad OB=\frac{|b^2-a^2|}{2\sqrt{a^2+b^2}}.\]

Из условия \(MA=OB\) следует \(2a^2=|b^2-a^2|\). Если \(b^2<a^2\), это равенство невозможно; значит, \(b^2\ge a^2\), и \(2a^2=b^2-a^2\). Следовательно, \(b^2=3a^2\).

Векторы \(\overrightarrow{OP}=\left(\frac a2,-\frac b2\right)\) и \(\overrightarrow{OM}=\left(-\frac a2,-\frac b2\right)\). Тогда

\[\cos\angle POM=\frac{\overrightarrow{OP}\cdot\overrightarrow{OM}}{|OP|\,|OM|}=\frac{b^2-a^2}{a^2+b^2}=\frac{3a^2-a^2}{a^2+3a^2}=\frac12.\]

Ответ: \(\angle POM=60^\circ\).