2. В прямоугольнике со сторонами 15 см и 21 см биссектриса угла, проведённая к большей стороне, разбивает его на треугольник и трапецию. Найдите: а) площадь треугольника; б) площадь тра- пеции.

a) Рассмотрим прямоугольник ABCD со сторонами AB = CD = 15 см и BC = AD = 21 см. Биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке E. Так как AE - биссектриса, то угол BAE равен углу EAD. Угол EAD равен углу BEA как накрест лежащие углы при параллельных прямых AD и BC и секущей AE. Следовательно, угол BAE равен углу BEA, а значит, треугольник ABE - равнобедренный, и AB = BE = 15 см.

Тогда площадь треугольника ABE равна половине произведения его основания на высоту. В данном случае основание BE = 15 см, высота AB = 15 см. Площадь треугольника ABE равна:

$$ S_{ABE} = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 15 = \frac{225}{2} = 112.5 \text{ см}^2 $$

б) Рассмотрим трапецию AECD. Ее высота равна стороне прямоугольника CD = 15 см. Верхнее основание трапеции AD = 21 см, а нижнее основание EC = BC - BE = 21 - 15 = 6 см.

Площадь трапеции AECD равна полусумме ее оснований, умноженной на высоту:

$$ S_{AECD} = \frac{AD + EC}{2} \cdot CD = \frac{21 + 6}{2} \cdot 15 = \frac{27}{2} \cdot 15 = \frac{405}{2} = 202.5 \text{ см}^2 $$

Ответ: а) 112.5 см²; б) 202.5 см²