В прямоугольном АВС катет ВС = 7 см. Высота СД, опущенная из вершины прямого угла С, отсекает отрезок ДВ = 3 см. Чему равна гипотенуза АВ?

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, где BC - катет, равный 7 см, CD - высота, проведенная из вершины прямого угла C, DB = 3 см. Требуется найти гипотенузу AB.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник СВD. В этом треугольнике известны катет ВD = 3 см и гипотенуза ВС = 7 см. Угол ∠CBD = α. Выразим косинус угла α:

$$cos α = \frac{BD}{BC} = \frac{3}{7}$$

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. В этом треугольнике угол ∠CBA = α. Выразим косинус угла α:

$$cos α = \frac{BC}{AB}$$

3. Так как косинус угла α один и тот же, приравняем выражения:

$$\frac{3}{7} = \frac{7}{AB}$$

Выразим АВ:

$$AB = \frac{7}{\frac{3}{7}} = \frac{7 \cdot 7}{3} = \frac{49}{3} = 16\frac{1}{3} \approx 16.33 \text{ см}$$

Ответ:

Гипотенуза АВ равна 16 1/3 см или приблизительно 16,33 см.

Ответ: $$16\frac{1}{3}$$ см