В прямоугольном параллелепипеде ABCDA₁B₁C₁D₁ известны рёбра: AB = 3, AD = 5, AA₁ = 8. На ребре DD₁ выбрана точка E так, что DE = 3. Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью AEC₁. В ответ укажите найденное значение в квадрате.

Введём координаты: A(0; 0; 0), оси направим вдоль рёбер AB, AD и AA₁. Тогда E(0; 5; 3), C₁(3; 5; 8).

Векторы AE = (0; 5; 3) и AC₁ = (3; 5; 8). Их векторное произведение равно (10; 9; −15), поэтому уравнение плоскости AEC₁: 10x + 9y − 15z = 0.

На ребре BB₁ (x = 3, y = 0) плоскость пересекает параллелепипед в точке F с координатами (3; 0; 2). На ребре CC₁ (x = 3, y = 5) она проходит через точку G(3; 5; 5). Поэтому сечение — параллелограмм AFG E (вершины по порядку: A, F, G, E).

Его соседние стороны задаются векторами AF = (3; 0; 2) и AE = (0; 5; 3). Площадь параллелограмма равна модулю их векторного произведения:

\(S = |AF \times AE| = \sqrt{(-10)^2 + (-9)^2 + 15^2} = \sqrt{406}\).

Ответ: \(\sqrt{406} \approx 20.15\) квадратных единиц.