В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 диагональ B1D составляет с плоскостью основания угол в 45°, а двугранный угол A1B1BD равен 60°. Найдите объем параллелепипеда, если диагональ основания равна 12 см.

Дано:

• Прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1.
• \[ \angle B_1DB = 45^{\circ} \]
• \[ \text{двугранный угол при ребре } B_1B = 60^{\circ} \]
• \[ d_{ABCD} = 12 \text{ см} \]

Найти:

• \[ V = ? \text{ см}^3 \]

Решение:

Обозначим ребра параллелепипеда:

• \[ AB = a \]
• \[ BC = b \]
• \[ BB_1 = h \]

Диагональ основания
The diagonal of the base
\[ BD = d_{ABCD} = 12 \text{ см} \]

В прямоугольном треугольнике
The right-angled triangle
\[ B_1DB \]

• \[ \operatorname{tg} \angle B_1DB = \frac{BB_1}{BD} \]
• \[ \operatorname{tg} 45^{\circ} = \frac{h}{12} \]
• \[ 1 = \frac{h}{12} \]
• \[ h = 12 \text{ см} \]

Теперь рассмотрим двугранный угол при ребре
Now consider the dihedral angle along the edge

\[ BB_1 \]

Плоскость, перпендикулярная ребру
The plane perpendicular to the edge
\[ BB_1 \]

— это плоскость основания ABCD. Линии пересечения этой плоскости с гранями, содержащими ребро
— this is the plane of the base ABCD. The lines of intersection of this plane with the faces containing the edge

\[ BB_1 \]

— это
— are

\[ AB \text{ и } BD \]

Угол между ними
The angle between them is
\[ ∠ ABD \]

Этот угол равен 60° (по условию, двугранный угол равен 60°, а линия пересечения плоскостей — это ребро
This angle is 60° (according to the condition, the dihedral angle is 60°, and the line of intersection of the planes is the edge

\[ BB_1 \]).

В прямоугольном треугольнике
In the right-angled triangle

\[ ABD \]

• \[ \cos \angle ABD = \frac{AB}{BD} \]
• \[ \cos 60^{\circ} = \frac{a}{12} \]
• \[ \frac{1}{2} = \frac{a}{12} \]
• \[ a = 6 \text{ см} \]

Теперь найдем сторону
Now let's find the side

\[ b \]

В прямоугольном треугольнике
In the right-angled triangle

\[ ABD \]

• \[ BD^2 = AB^2 + AD^2 \]
• \[ 12^2 = 6^2 + b^2 \]
• \[ 144 = 36 + b^2 \]
• \[ b^2 = 144 - 36 = 108 \]
• \[ b = \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]

Объем параллелепипеда
The volume of the parallelepiped is

• \[ V = a \times b \times h \]
• \[ V = 6 \times 6\sqrt{3} \times 12 \]
• \[ V = 36\sqrt{3} \times 12 = 432\sqrt{3} \text{ см}^3 \]

Ответ:

Ответ: $$432\sqrt{3}$$ см³.