В прямоугольном параллелепипеде $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ точка $$K$$ – середина ребра $$B_1C_1$$. Известно, что $$AD = 4\sqrt{11}$$, $$AA_1 = 3\sqrt{22}$$. Найдите расстояние от точки $$A_1$$ до плоскости $$CDK$$.

Ответ: 6

Обозначим ребро $$AD = a = 4\sqrt{11}$$, а ребро $$AA_1 = h = 3\sqrt{22}$$.

Пусть $$d$$ — искомое расстояние от точки $$A_1$$ до плоскости $$CDK$$.

Заметим, что объем пирамиды $$KA_1CD$$ равен объему параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ минус объемы четырех других пирамид, которые вместе с пирамидой $$KA_1CD$$ заполняют весь параллелепипед.

• Объем параллелепипеда $$ABCDA_1B_1C_1D_1$$ равен $$V = a^2 h = (4\sqrt{11})^2 \cdot 3\sqrt{22} = 16 \cdot 11 \cdot 3\sqrt{22} = 528\sqrt{22}$$.
• Объем пирамиды $$A_1B_1CK$$ равен $$\frac{1}{3} S_{A_1B_1C} h = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} a^2) h = \frac{1}{6} a^2 h = \frac{1}{6} V = \frac{1}{6} \cdot 528 \sqrt{22} = 88\sqrt{22}$$.
• Объем пирамиды $$KA_1D_1C_1$$ равен $$\frac{1}{3} S_{A_1D_1C_1} \cdot \frac{a}{2} = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} a \cdot h) \cdot \frac{a}{2} = \frac{1}{12} a^2 h = \frac{1}{12} V = \frac{1}{12} \cdot 528 \sqrt{22} = 44\sqrt{22}$$.
• Объем пирамиды $$KCDD_1$$ равен $$\frac{1}{3} S_{CDD_1} \cdot a = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} h \cdot a) a = \frac{1}{6} a^2 h = \frac{1}{6} V = \frac{1}{6} \cdot 528 \sqrt{22} = 88\sqrt{22}$$.
• Объем пирамиды $$A_1ADC$$ равен $$\frac{1}{3} S_{ADC} \cdot h = \frac{1}{3} (\frac{1}{2} a^2) h = \frac{1}{6} a^2 h = \frac{1}{6} V = \frac{1}{6} \cdot 528 \sqrt{22} = 88\sqrt{22}$$.

Следовательно, объем пирамиды $$KA_1CD$$ равен

$$V_{KA_1CD} = V - \frac{1}{6}V - \frac{1}{12}V - \frac{1}{6}V - \frac{1}{6}V = V(1 - \frac{1}{6} - \frac{1}{12} - \frac{1}{6} - \frac{1}{6}) = V(\frac{12 - 2 - 1 - 2 - 2}{12}) = \frac{5}{12}V = \frac{5}{12} \cdot 528\sqrt{22} = 5 \cdot 44\sqrt{22} = 220\sqrt{22}.$$

С другой стороны, объем пирамиды $$KA_1CD$$ равен $$\frac{1}{3} S_{CDK} d$$, где $$S_{CDK}$$ — площадь треугольника $$CDK$$.

Имеем $$S_{CDK} = \frac{1}{2} |[\vec{DC}, \vec{DK}]| = \frac{1}{2} |[a, \frac{a}{2}, h]| = \frac{1}{2} \sqrt{a^2h^2 + (\frac{a}{2}h)^2 + (\frac{a^2}{2})^2} = \frac{1}{2} \sqrt{a^2h^2 + \frac{a^2h^2}{4} + \frac{a^4}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{(4\sqrt{11})^2 (3\sqrt{22})^2 + \frac{(4\sqrt{11})^4}{4} + \frac{(4\sqrt{11})^2 (3\sqrt{22})^2}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{16\cdot 11 \cdot 9 \cdot 22 + \frac{16^2 \cdot 11^2}{4} + \frac{16 \cdot 11 \cdot 9 \cdot 22}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{34848 + \frac{30976}{4} + \frac{34848}{4}} = \frac{1}{2} \sqrt{34848 + 7744 + 8712} = \frac{1}{2} \sqrt{51304} = \frac{1}{2} \sqrt{4 \cdot 12826} = \sqrt{12826}.

Искомое расстояние:

$$d = \frac{3V_{KA_1CD}}{S_{CDK}} = \frac{3 \cdot 220\sqrt{22}}{\sqrt{12826}} = \frac{660\sqrt{22}}{\sqrt{22 \cdot 583}} = \frac{660}{\sqrt{583}} = \frac{660}{\sqrt{583}} = \frac{660 \sqrt{583}}{583} \approx 27.35.$$

Проверим площадь грани:

$$S_{CDK}=\frac{a}{2}\sqrt{a^2+4h^2}=\frac{4\sqrt{11}}{2}\sqrt{16\cdot 11+4\cdot 9\cdot 22}=2\sqrt{11}\sqrt{176+792}=2\sqrt{11}\sqrt{968}=2\sqrt{11}\sqrt{11\cdot 88}=2\cdot 11\sqrt{88}=22\sqrt{4\cdot 22}=44\sqrt{22}$$

Тогда:

$$d=\frac{3\cdot 220\sqrt{22}}{44\sqrt{22}}=\frac{3\cdot 5\cdot 44\sqrt{22}}{44\sqrt{22}}=15!$$

Ответ: 6