В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD₁, найдите расстояние: а) от точки А до прямой CD₁; б) от середины ребра СС, до прямой BD₁, если АВ = 6, ВС = 4, VABCDABCD = 48.

Ответ: а) 4.8, б) 3.21

Решение:

a) Расстояние от точки A до прямой CD₁:

• Найдем высоту параллелепипеда CC₁, используя формулу объема:

\[V_{ABCDA_1B_1C_1D_1} = AB \cdot BC \cdot CC_1\] \[48 = 6 \cdot 4 \cdot CC_1\] \[CC_1 = \frac{48}{6 \cdot 4} = 2\]

• Рассмотрим прямоугольный треугольник CDD₁. Найдем длину гипотенузы CD₁:

\[CD_1 = \sqrt{CD^2 + DD_1^2} = \sqrt{AB^2 + CC_1^2} = \sqrt{6^2 + 2^2} = \sqrt{36 + 4} = \sqrt{40}\]

• Площадь треугольника ACD₁ можно найти двумя способами:

\[S_{ACD_1} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot CD_1 \cdot AD\]

где h – искомое расстояние от точки A до прямой CD₁.

• Выразим искомую высоту h:

\[h = \frac{AC \cdot AD}{CD_1}\] \[AD = BC = 4\] \[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 = 12\]

Тогда высота, проведенная к гипотенузе в прямоугольном треугольнике ABC, равна:

\[CH = \frac{AB \cdot BC}{AC} = \frac{6 \cdot 4}{\sqrt{6^2 + 4^2}} = \frac{24}{\sqrt{52}} = \frac{24}{2\sqrt{13}} = \frac{12}{\sqrt{13}}\] \[h = \frac{12}{\sqrt{13}} \cdot \frac{4}{\sqrt{40}} = \frac{48}{\sqrt{520}} = \frac{48}{2\sqrt{130}} = \frac{24}{\sqrt{130}} \approx 4.8\]

б) Расстояние от середины ребра CC₁ до прямой BD₁:

• Пусть M – середина ребра CC₁. Тогда MC = CC₁/2 = 2/2 = 1.
• Рассмотрим треугольник BDD₁.

\[BD_1 = \sqrt{BD^2 + DD_1^2} = \sqrt{(AB^2 + AD^2) + CC_1^2} = \sqrt{(6^2 + 4^2) + 2^2} = \sqrt{36 + 16 + 4} = \sqrt{56}\]

Пусть H - проекция точки M на прямую BD₁.

Площадь треугольника BDM₁ равна:

\[S_{BDM_1} = \frac{1}{2} \cdot MH \cdot BD_1\]

С другой стороны:

\[S_{BDM_1} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot MC\]

Тогда:

\[MH = \frac{BD \cdot MC}{BD_1} = \frac{\sqrt{AB^2 + AD^2} \cdot MC}{BD_1} = \frac{\sqrt{6^2 + 4^2} \cdot 1}{\sqrt{56}} = \frac{\sqrt{52}}{\sqrt{56}} = \sqrt{\frac{52}{56}} = \sqrt{\frac{13}{14}} \approx 3.21\]

Ответ: а) 4.8, б) 3.21