В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD₁, у которого АВ = 4, BC = 6, CC₁ = 4, найдите тангенс угла между плоскостью АВС и прямой EF, проходящей через середины ребер АА1 и СД₁

Задача 2.

• Пусть точка A - начало координат (0, 0, 0).
• Тогда координаты точек:
• B(4, 0, 0)
• C(4, 6, 0)
• A₁(0, 0, 4)
• D₁(0, 6, 4)

• Точка E - середина ребра AA₁:
• E((0 + 0)/2, (0 + 0)/2, (0 + 4)/2) = E(0, 0, 2)

• Точка F - середина ребра C₁D₁:
• Координаты точки C₁(4, 6, 4)
• F((0 + 4)/2, (6 + 6)/2, (4 + 4)/2) = F(2, 6, 4)

• Вектор EF = (2 - 0, 6 - 0, 4 - 2) = (2, 6, 2)

• Нормаль к плоскости ABC:
• n = (0, 0, 1)

• Синус угла между вектором EF и плоскостью ABC:
• sin(α) = |(EF ⋅ n) / (|EF| ⋅ |n|)|

• Вычисляем:
• EF ⋅ n = (2 * 0) + (6 * 0) + (2 * 1) = 2
• |EF| = √(2² + 6² + 2²) = √44 = 2√11
• |n| = √(0² + 0² + 1²) = 1
• sin(α) = |2 / (2√11 * 1)| = 1 / √11

• Тангенс угла α:
• tg(α) = sin(α) / √(1 - sin²(α))
• tg(α) = (1 / √11) / √(1 - (1 / 11))
• tg(α) = (1 / √11) / √(10 / 11)
• tg(α) = 1 / √10 = √10 / 10

Ответ: √10 / 10