В прямоугольном параллелепипеде ABCDABCD₁, ребра BC, BA и диагональ BC₁ равны соответственно 5, 7 и √34. Найдите объем параллелепипеда ABCDA₁B₁C₁D₁.

Привет! Давай разберемся с этой задачей вместе.

У нас есть прямоугольный параллелепипед, это такая фигура, как кирпичик. Даны длины некоторых его частей:

• Ребро BC = 5
• Ребро BA = 7
• Диагональ BC₁ = \(\sqrt{34}\)

Нам нужно найти объем этого параллелепипеда.

Что такое объем параллелепипеда?

Объем прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

\( V = a × b × c \)

где \(a\), \(b\) и \(c\) — это длины трех ребер, выходящих из одной вершины.

В нашем случае, из вершины B выходят ребра BA, BC и BB₁. Мы знаем длины BA и BC. Нам нужно найти длину ребра BB₁, которое является высотой параллелепипеда.

Как найти высоту BB₁?

Давай посмотрим на прямоугольный треугольник BCC₁. У него есть:

• Катет BC = 5
• Катет CC₁ (это высота, которую мы ищем, BB₁)
• Гипотенуза BC₁ = \(\sqrt{34}\)

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника:

\( BC^2 + CC_1^2 = BC_1^2 \)

Подставим известные значения:

\( 5^2 + BB_1^2 = (\sqrt{34})^2 \)

\( 25 + BB_1^2 = 34 \)

Теперь найдем \(BB_1^2\):

\( BB_1^2 = 34 - 25 \)

\( BB_1^2 = 9 \)

Извлечем квадратный корень, чтобы найти длину BB₁:

\( BB_1 = √{9} = 3 \)

Итак, высота параллелепипеда BB₁ равна 3.

Теперь найдем объем!

У нас есть все три ребра, выходящие из вершины B:

• BA = 7
• BC = 5
• BB₁ = 3

Используем формулу объема:

\( V = BA × BC × BB_1 \)

\( V = 7 × 5 × 3 \)

\( V = 35 × 3 \)

\( V = 105 \)

Ответ: 105