В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1, найдите расстояние: а) от точки А до прямой CD1; б) от се- редины ребра СС1 до прямой BD1, если АА₁ = 4, BC = 3, Ѕп.п. = 192.

Решение:

Давай разберем по порядку, как решить эту задачу. Начнем с первого пункта.

а) Расстояние от точки A до прямой CD₁

Сначала найдем стороны основания параллелепипеда. Площадь полной поверхности прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле:

\[S_{п.п.} = 2(ab + bc + ac)\]

где a, b, c - измерения параллелепипеда. У нас дано, что AA₁ = 4 (это высота), BC = 3, и Ѕп.п. = 192. Подставим известные значения в формулу:

\[192 = 2(3 \cdot AB + 3 \cdot 4 + AB \cdot 4)\] \[96 = 3AB + 12 + 4AB\] \[84 = 7AB\] \[AB = 12\]

Теперь у нас есть AB = 12 и BC = 3. Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Расстояние от точки A до прямой CD₁ равно высоте этого треугольника, опущенной из вершины A на гипотенузу CD₁. Сначала найдем длину CD₁:

\[CD₁ = \sqrt{CD^2 + DD₁^2} = \sqrt{AB^2 + AA₁^2} = \sqrt{12^2 + 4^2} = \sqrt{144 + 16} = \sqrt{160} = 4\sqrt{10}\]

Площадь треугольника ACD₁ можно найти двумя способами:

\[S_{ACD₁} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 12 = 18\]

и

\[S_{ACD₁} = \frac{1}{2} \cdot CD₁ \cdot h\]

где h - искомое расстояние от A до CD₁. Приравняем оба выражения для площади:

\[18 = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{10} \cdot h\] \[h = \frac{36}{4\sqrt{10}} = \frac{9}{\sqrt{10}} = \frac{9\sqrt{10}}{10} = 0.9\sqrt{10}\]

б) Расстояние от середины ребра CC₁ до прямой BD₁

Пусть M - середина ребра CC₁. Тогда CM = MC₁ = 2. Рассмотрим треугольник BMD₁. Нужно найти расстояние от точки M до прямой BD₁.

\[BD₁ = \sqrt{BC^2 + CD^2 + DD₁^2} = \sqrt{3^2 + 12^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 144 + 16} = \sqrt{169} = 13\]

Найдем площадь треугольника BMD₁:

Координаты точек:

• B(0, 0, 0)
• M(12, 3, 2)
• D₁(12, 0, 4)

Векторы:

• BM = (12, 3, 2)
• BD₁ = (12, 0, 4)

Площадь треугольника:

\[S_{BMD₁} = \frac{1}{2} |BM \times BD₁|\]

Векторное произведение:

\[BM \times BD₁ = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 12 & 3 & 2 \\ 12 & 0 & 4 \end{vmatrix} = (12-0)i - (48-24)j + (0-36)k = 12i - 24j - 36k\] \[|BM \times BD₁| = \sqrt{12^2 + (-24)^2 + (-36)^2} = \sqrt{144 + 576 + 1296} = \sqrt{2016} = 12\sqrt{14}\] \[S_{BMD₁} = \frac{1}{2} \cdot 12\sqrt{14} = 6\sqrt{14}\]

Искомое расстояние h от M до BD₁:

\[S_{BMD₁} = \frac{1}{2} \cdot BD₁ \cdot h\] \[6\sqrt{14} = \frac{1}{2} \cdot 13 \cdot h\] \[h = \frac{12\sqrt{14}}{13}\]

Ответ: а) \(0.9\sqrt{10}\), б) \(\frac{12\sqrt{14}}{13}\)

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!