1. В прямоугольном параллелепипеде измерения равны 1, 2, 3 см. Найдите сумму длин всех его ребер; площадь полной поверхности параллелепипеда и его диагональ. 2. Точка О – центр квадрата АВСД, ОН 1 (АВС) и ОН = 4√6 см, АВ = 10 см. Найдите угол между АН и плоскостью (АВС). 3. Отрезок АВ не пересекает плоскость а. Через точки А и В проведены прямые, перпендикулярные к плоскости а и пересекающие ее в точках А₁ и В₁ соответственно. Найдите АВ, если А1В1=6 см, АА1-16 см, ВВ₁=24 см.

Домашняя работа.

1. Прямоугольный параллелепипед

Давай решим эту задачу по шагам. Прямоугольный параллелепипед имеет три измерения: длину, ширину и высоту. В данном случае они равны 1 см, 2 см и 3 см.

1. Сумма длин всех ребер:

У параллелепипеда 12 ребер, и каждое измерение повторяется 4 раза. Поэтому:

\[4 \cdot (1 + 2 + 3) = 4 \cdot 6 = 24 \text{ см}.\]
2. Площадь полной поверхности:

Площадь полной поверхности параллелепипеда равна сумме площадей всех его граней. У нас есть три пары граней с площадями:

• \(1 \times 2 = 2 \text{ см}^2\)
• \(1 \times 3 = 3 \text{ см}^2\)
• \(2 \times 3 = 6 \text{ см}^2\)

Каждую из этих площадей нужно умножить на 2, так как граней каждой пары две. Итого:

\[2 \cdot (2 + 3 + 6) = 2 \cdot 11 = 22 \text{ см}^2.\]
3. Диагональ:

Диагональ параллелепипеда можно найти по формуле:

\[d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\]

где \(a\), \(b\), \(c\) - измерения параллелепипеда. Подставляем значения:

\[d = \sqrt{1^2 + 2^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 4 + 9} = \sqrt{14} \text{ см}.\]

Ответ: Сумма длин всех ребер: 24 см; Площадь полной поверхности: 22 см²; Диагональ: \(\sqrt{14}\) см.

---

2. Квадрат АВСД и перпендикуляр ОН

Давай рассмотрим эту задачу. У нас есть квадрат \(ABCD\), точка \(O\) - его центр, и отрезок \(OH\), перпендикулярный плоскости квадрата. Также известно, что \(OH = 4\sqrt{6}\) см и \(AB = 10\) см. Нужно найти угол между \(AH\) и плоскостью \(ABC\).

1. Найдем \(AO\):

Так как \(O\) - центр квадрата, то \(AO\) является половиной диагонали квадрата. Диагональ квадрата можно найти по формуле:

\[d = a\sqrt{2}\]

где \(a\) - сторона квадрата. В нашем случае \(a = 10\) см, поэтому:

\[d = 10\sqrt{2} \text{ см}.\]

Тогда \(AO\) будет:

\[AO = \frac{1}{2} \cdot 10\sqrt{2} = 5\sqrt{2} \text{ см}.\]
2. Найдем угол \(\angle HAO\):

Угол между \(AH\) и плоскостью \(ABC\) - это угол между \(AH\) и ее проекцией на эту плоскость, то есть \(AO\). Рассмотрим прямоугольный треугольник \(AOH\). В нем:

• \(OH = 4\sqrt{6}\) см
• \(AO = 5\sqrt{2}\) см

Тангенс угла \(\angle HAO\) равен отношению \(OH\) к \(AO\):

\[\tan(\angle HAO) = \frac{OH}{AO} = \frac{4\sqrt{6}}{5\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{3}}{5}.\]

Тогда угол \(\angle HAO\) можно найти как арктангенс этого значения:

\[\angle HAO = \arctan\left(\frac{4\sqrt{3}}{5}\right) \approx 54.1^\circ.\]

Ответ: Угол между \(AH\) и плоскостью \(ABC\) равен \(\arctan\left(\frac{4\sqrt{3}}{5}\right) \approx 54.1^\circ\).

---

3. Отрезок АВ и плоскость α

Давай решим и эту задачу. У нас есть отрезок \(AB\), который не пересекает плоскость \(\alpha\). Через точки \(A\) и \(B\) проведены прямые, перпендикулярные \(\alpha\), и пересекают её в точках \(A_1\) и \(B_1\) соответственно. Известно, что \(A_1B_1 = 6\) см, \(AA_1 = 16\) см, \(BB_1 = 24\) см. Нужно найти \(AB\).

1. Рассмотрим трапецию \(AA_1B_1B\):

Так как \(AA_1\) и \(BB_1\) перпендикулярны плоскости \(\alpha\), то они параллельны друг другу. Следовательно, \(AA_1B_1B\) - трапеция.

2. Проведем высоту \(AE\):

Проведем высоту \(AE\) из точки \(A\) к отрезку \(BB_1\). Тогда \(EB_1 = AA_1 = 16\) см, и \(BE = BB_1 - EB_1 = 24 - 16 = 8\) см.

3. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABE\):

В этом треугольнике:

• \(BE = 8\) см
• \(AE = A_1B_1 = 6\) см

По теореме Пифагора найдем \(AB\):

\[AB = \sqrt{AE^2 + BE^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \text{ см}.\]

Ответ: Длина отрезка \(AB\) равна 10 см.

Ты отлично справился с этими задачами! Не останавливайся на достигнутом, и у тебя все получится!