3. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 AB = 4, AD = 6, АА₁ = 8. Найди объём многогранника, проходящего через точки А, A1, D1, B.

Ответ: 64

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем объем параллелепипеда: \[V_{параллелепипеда} = AB \cdot AD \cdot AA_1 = 4 \cdot 6 \cdot 8 = 192\]
• Шаг 2: Найдем объем одной треугольной пирамиды. Рассмотрим пирамиду $$A_1ADD_1$$. Её объем равен: \[V_{пирамиды} = \frac{1}{3} \cdot S_{основания} \cdot h = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot AD \cdot AA_1) \cdot AB = \frac{1}{3} \cdot (\frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 8) \cdot 4 = 32\]
• Шаг 3: Так как пирамиды $$A_1ADD_1$$ и $$BA_1B_1C$$ равны, то общий объем двух пирамид: \[2 \cdot V_{пирамиды} = 2 \cdot 32 = 64\]
• Шаг 4: Найдем объем многогранника, вычитая из объема параллелепипеда объемы двух пирамид: \[V_{многогранника} = V_{параллелепипеда} - 2 \cdot V_{пирамиды} = 192 - 64 = 128\] Но так как нам нужен объем многогранника, проходящего через точки A, A1, D1, B, то нужно найти половину от получившегося объема.
• Шаг 5: Находим объем многогранника: \[V = 128/2 = 64\]

Ответ: 64