В прямоугольном треугольнике а и b — катеты, с — гипотенуза. Найдите b, если: a) a = 12, c = 13; б) a = 7, c = 9; в) a = 12, c = 2b; г) a = 2√3, c = 2b; д) a = 3b, c = 2√10.

Решение:

В прямоугольном треугольнике катеты \(a\) и \(b\) и гипотенуза \(c\) связаны теоремой Пифагора: \(a^2 + b^2 = c^2\). Из этого следует, что \(b^2 = c^2 - a^2\) и \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\).

1. а) a = 12, c = 13:
   
   \(b = \sqrt{13^2 - 12^2} = \sqrt{169 - 144} = \sqrt{25} = 5\).


2. б) a = 7, c = 9:
   
   \(b = \sqrt{9^2 - 7^2} = \sqrt{81 - 49} = \sqrt{32} = \sqrt{16 × 2} = 4\sqrt{2}\).


3. в) a = 12, c = 2b:
   
   Подставим значения в формулу Пифагора: \(12^2 + b^2 = (2b)^2\).
   
   \(144 + b^2 = 4b^2\)
   
   \(144 = 3b^2\)
   
   \(b^2 = \frac{144}{3} = 48\)
   
   \(b = \sqrt{48} = \sqrt{16 × 3} = 4\sqrt{3}\).


4. г) a = 2√3, c = 2b:
   
   Подставим значения в формулу Пифагора: \((2\sqrt{3})^2 + b^2 = (2b)^2\).
   
   \(4 × 3 + b^2 = 4b^2\)
   
   \(12 + b^2 = 4b^2\)
   
   \(12 = 3b^2\)
   
   \(b^2 = \frac{12}{3} = 4\)
   
   \(b = \sqrt{4} = 2\).


5. д) a = 3b, c = 2√10:
   
   Подставим значения в формулу Пифагора: \((3b)^2 + b^2 = (2\sqrt{10})^2\).
   
   \(9b^2 + b^2 = 4 × 10\)
   
   \(10b^2 = 40\)
   
   \(b^2 = \frac{40}{10} = 4\)
   
   \(b = \sqrt{4} = 2\).

Ответ:

• а) b = 5;


• б) b = 4√2;


• в) b = 4√3;


• г) b = 2;


• д) b = 2.