1. В прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 90°, AB = 20 см, высота AD равна 12 см. Найдите АС и cos C. 2. Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна к стороне AD, AB - 12 см, ∠A = 60°. Найдите площадь параллелограмма. 3. Боковая сторона трапеции, равная 5√2 см, образует с большим основанием угол в 45°. Основания трапеции равны 12 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A, высота AD равна 12 см, а сторона AB равна 20 см. Наша задача - найти AC и cos C.

Шаг 1: Найдем BD.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора:

\[BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16\]

Шаг 2: Найдем CD.

Используем свойство высоты в прямоугольном треугольнике: AD² = BD \cdot CD. Отсюда:

\[CD = \frac{AD^2}{BD} = \frac{12^2}{16} = \frac{144}{16} = 9\]

Шаг 3: Найдем AC.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. По теореме Пифагора:

\[AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{12^2 + 9^2} = \sqrt{144 + 81} = \sqrt{225} = 15\]

Шаг 4: Найдем BC.

\[BC = BD + DC = 16 + 9 = 25\]

Шаг 5: Найдем Cos C.

Косинус угла C в треугольнике ABC равен отношению прилежащего катета AC к гипотенузе BC:

\[\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{25} = 0.6\]

Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна стороне AD, AB = 12 см, ∠A = 60°. Найти площадь параллелограмма.

Шаг 1: Определим высоту параллелограмма.

Так как BD перпендикулярна AD, то треугольник ABD - прямоугольный. Высота параллелограмма, проведенная из вершины B к стороне AD, является катетом в этом треугольнике.

Шаг 2: Найдем высоту BH.

В прямоугольном треугольнике ABD высота BH противолежит углу A, поэтому:

\[BH = AB \cdot \sin A = 12 \cdot \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}\]

Шаг 3: Найдем AD.

В прямоугольном треугольнике ABD:

\[AD = AB \cdot \cos A = 12 \cdot \cos 60^\circ = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6\]

Шаг 4: Вычислим площадь параллелограмма.

Площадь параллелограмма равна произведению основания на высоту:

\[S = AD \cdot BH = 6 \cdot 6\sqrt{3} = 36\sqrt{3}\]

Боковая сторона трапеции равна \(5\sqrt{2}\) см и образует с большим основанием угол в 45°. Основания трапеции равны 12 см и 20 см. Найти площадь трапеции.

Шаг 1: Определим высоту трапеции.

Проведем высоту из вершины верхнего основания к нижнему. Получим прямоугольный треугольник, в котором боковая сторона является гипотенузой, а высота и часть нижнего основания - катетами.

Шаг 2: Найдем высоту.

Так как угол между боковой стороной и нижним основанием равен 45°, то высота равна:

\[h = 5\sqrt{2} \cdot \sin 45^\circ = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\]

Шаг 3: Вычислим площадь трапеции.

Площадь трапеции равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

\[S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{12 + 20}{2} \cdot 5 = \frac{32}{2} \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80\]