Контрольные задания > 1. В прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 90°, AB = 20 см, высота AD равна 12 см. Найдите АС и cos C. 2. Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна к сто- роне AD, АВ = 12 см, ∠A = 60°. Найдите площадь параллелограмма. 3. Боковая сторона трапеции, равная 5√2 см, образует с большим основанием угол в 45°. Основания трапеции равны 12 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.
Вопрос:

1. В прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 90°, AB = 20 см, высота AD равна 12 см. Найдите АС и cos C. 2. Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна к сто- роне AD, АВ = 12 см, ∠A = 60°. Найдите площадь параллелограмма. 3. Боковая сторона трапеции, равная 5√2 см, образует с большим основанием угол в 45°. Основания трапеции равны 12 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

1. В прямоугольном треугольнике ABC ∠A = 90°, AB = 20 см, высота AD равна 12 см. Найдите АС и cos C.

Краткое пояснение: Сначала найдем BC по теореме Пифагора, затем AC через площадь треугольника. После чего найдем косинус угла C.
  1. Найдем BD из прямоугольного треугольника ABD: \[BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{20^2 - 12^2} = \sqrt{400 - 144} = \sqrt{256} = 16 \text{ см}\]
  2. Найдем BC из прямоугольного треугольника ABC: \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC\) и \(S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD\), приравняем правые части: \[\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AD\] \[AB \cdot AC = BC \cdot AD\] Из этого следует: \[AC = \frac{BC \cdot AD}{AB} = \frac{BC \cdot 12}{20}\] Теперь выразим BC: \[BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{20^2 + AC^2}\] Подставим AC: \[BC = \sqrt{400 + (\frac{BC \cdot 12}{20})^2} = \sqrt{400 + \frac{144 \cdot BC^2}{400}}\] \[BC^2 = 400 + \frac{144}{400}BC^2\] \[BC^2 - \frac{144}{400}BC^2 = 400\] \[\frac{256}{400}BC^2 = 400\] \[BC^2 = \frac{400 \cdot 400}{256} = \frac{160000}{256} = 625\] \[BC = \sqrt{625} = 25 \text{ см}\]
  3. Найдем AC: \[AC = \frac{BC \cdot AD}{AB} = \frac{25 \cdot 12}{20} = \frac{300}{20} = 15 \text{ см}\]
  4. Найдем cos C: \[\cos C = \frac{AC}{BC} = \frac{15}{25} = \frac{3}{5} = 0.6\]

2. Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна к стороне AD, АВ = 12 см, ∠A = 60°. Найдите площадь параллелограмма.

Краткое пояснение: Так как диагональ BD перпендикулярна AD, то треугольник ABD прямоугольный. Используем угол A, чтобы найти AD, а затем и площадь параллелограмма.
  1. В прямоугольном треугольнике ABD: \[\angle ABD = 90° - \angle A = 90° - 60° = 30°\]
  2. Найдем AD: \[AD = AB \cdot \cos A = 12 \cdot \cos 60° = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \text{ см}\]
  3. Найдем площадь параллелограмма ABCD: \[S_{ABCD} = AB \cdot AD \cdot \sin A = 12 \cdot 6 \cdot \sin 60° = 12 \cdot 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 36\sqrt{3} \text{ см}^2\]

3. Боковая сторона трапеции, равная 5√2 см, образует с большим основанием угол в 45°. Основания трапеции равны 12 см и 20 см. Найдите площадь трапеции.

Краткое пояснение: Проведем высоту, чтобы найти её длину, а затем и площадь трапеции.
  1. Опустим высоту из вершины верхнего основания на нижнее. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и частью большего основания. Т.к. угол равен 45°, то высота равна этой части большего основания. Пусть высота равна h. Тогда: \[h = 5\sqrt{2} \cdot \sin 45° = 5\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5 \text{ см}\]
  2. Площадь трапеции: \[S = \frac{a + b}{2} \cdot h = \frac{12 + 20}{2} \cdot 5 = \frac{32}{2} \cdot 5 = 16 \cdot 5 = 80 \text{ см}^2\]

Проверка за 10 секунд: 1) Нашли AC и cos C. 2) Вычислили площадь параллелограмма. 3) Определили площадь трапеции.

Доп. профит: Уровень Эксперт: Освоив эти задачи, ты сможешь решать более сложные геометрические задачи и применять эти знания в реальных ситуациях.

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю