В прямоугольном треугольнике АBC ∠C=90°, CD- высота треугольника, АС = 4, СВ = 12. Чему равно отношение площадей треугольников ACD и CDB?

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC = 4 и CB = 12, высота CD делит гипотенузу AB на отрезки AD и DB.

Площадь треугольника ABC можно найти двумя способами:

1. Через катеты: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot CB = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 12 = 24 \)
2. Через гипотенузу и высоту: \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD \)

Найдем квадрат гипотенузы AB по теореме Пифагора:

\[ AB^2 = AC^2 + CB^2 = 4^2 + 12^2 = 16 + 144 = 160 \]

\[ AB = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} \]

Теперь найдем высоту CD:

\[ CD = \frac{AC \cdot CB}{AB} = \frac{4 \cdot 12}{4\sqrt{10}} = \frac{12}{\sqrt{10}} = \frac{12\sqrt{10}}{10} = \frac{6\sqrt{10}}{5} \]

Площадь треугольника ACD:

\[ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD \]

Площадь треугольника CDB:

\[ S_{CDB} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot CD \]

Найдем отрезки AD и DB. В прямоугольном треугольнике квадрат катета равен произведению гипотенузы на проекцию этого катета на гипотенузу:

\[ AC^2 = AD \cdot AB \implies 4^2 = AD \cdot 4\sqrt{10} \implies 16 = AD \cdot 4\sqrt{10} \implies AD = \frac{16}{4\sqrt{10}} = \frac{4}{\sqrt{10}} = \frac{4\sqrt{10}}{10} = \frac{2\sqrt{10}}{5} \]

\[ CB^2 = DB \cdot AB \implies 12^2 = DB \cdot 4\sqrt{10} \implies 144 = DB \cdot 4\sqrt{10} \implies DB = \frac{144}{4\sqrt{10}} = \frac{36}{\sqrt{10}} = \frac{36\sqrt{10}}{10} = \frac{18\sqrt{10}}{5} \]

Теперь найдем площади треугольников ACD и CDB:

\[ S_{ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{10}}{5} \cdot \frac{6\sqrt{10}}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{12 \cdot 10}{25} = \frac{60}{25} = \frac{12}{5} \]

\[ S_{CDB} = \frac{1}{2} \cdot DB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot \frac{18\sqrt{10}}{5} \cdot \frac{6\sqrt{10}}{5} = \frac{1}{2} \cdot \frac{108 \cdot 10}{25} = \frac{540}{25} = \frac{108}{5} \]

Отношение площадей треугольников ACD и CDB:

\[ \frac{S_{ACD}}{S_{CDB}} = \frac{\frac{12}{5}}{\frac{108}{5}} = \frac{12}{108} = \frac{1}{9} \]

Альтернативный способ:

Отношение площадей треугольников с общей высотой равно отношению их оснований. В данном случае, треугольники ACD и CDB имеют общую высоту CD. Отношение их площадей равно отношению оснований AD и DB.

\[ \frac{S_{ACD}}{S_{CDB}} = \frac{AD}{DB} \]

Из соотношений проекций катетов на гипотенузу:

\[ \frac{AC^2}{CB^2} = \frac{AD \cdot AB}{DB \cdot AB} = \frac{AD}{DB} \]

\[ \frac{AD}{DB} = \frac{4^2}{12^2} = \frac{16}{144} = \frac{1}{9} \]

Следовательно, отношение площадей треугольников ACD и CDB равно 1:9.

Ответ: 1:9