В прямоугольном треугольнике ABC \(\cdotC=90°\) точки H, D, M лежат на гипотенузе AB, причём по отметкам на рисунке BH=HD=DM=MA. Доказать, что CD — биссектриса угла HCM.

Так как BH=HD=DM=MA, точка D является серединой отрезка HM, а также серединой гипотенузы AB.

1. В прямоугольном треугольнике ABC середина гипотенузы равноудалена от всех вершин, поэтому \(DA=DB=DC\).
2. Поскольку точки H и M симметричны относительно точки D на прямой AB, имеем \(DH=DM\).
3. Так как \(CD\perp AB\), треугольники \(CDH\) и \(CDM\) прямоугольные, причём \(CD\) — общий катет и \(DH=DM\). Следовательно, \(\triangle CDH=\triangle CDM\) по двум катетам.
4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: \(\angle HCD=\angle DCM\).

Значит, луч CD делит угол HCM на два равных угла.

Ответ: CD — биссектриса угла HCM.