В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 20, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 3√39. Найдите sin ∠ABC.

Обозначим BC = b, а гипотенузу AB = c. Для прямоугольного треугольника площадь можно выразить двумя способами: через катеты и через гипотенузу с высотой.

Из равенства площадей следует: \(\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH\), поэтому \(c b=20\cdot3\sqrt{39}\).

Также по теореме Пифагора \(c^2=400+b^2\). Возведём равенство площадей в квадрат и подставим \(c^2\): \(c^2b^2=351\cdot400\), значит \((400+b^2)b^2=140400\).

Положим \(t=b^2\). Тогда \(t^2+400t-140400=0\), откуда положительный корень \(t=180\). Следовательно, \(c^2=400+180=580\). (Эквивалентно, из формулы высоты получается \(b^2=140400/49\) только при ошибочном возведении; корректно: \(h^2=400b^2/(400+b^2)\), откуда \(351(400+b^2)=400b^2\), \(b^2=140400/49\), и \(c=400/7\).)

Поэтому \(\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{20}{400/7}=\frac{7}{20}\).

Ответ: \(\frac{7}{20}\).