В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 65, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 52. Найдите sin ∠ABC.

Так как CH — высота к гипотенузе AB, треугольник AHC прямоугольный, причём AC — его гипотенуза.

По теореме Пифагора:

\(AH=\sqrt{AC^2-CH^2}=\sqrt{65^2-52^2}=\sqrt{4225-2704}=39.\)

Для угла \(\angle ABC\) синус равен отношению противолежащего катета AC к гипотенузе AB. В прямоугольном треугольнике ABC высота к гипотенузе даёт соотношение \(AC^2=AH\cdot AB\), поэтому

\(AB=\frac{AC^2}{AH}=\frac{65^2}{39}=\frac{325}{3}.\)

Следовательно,

\(\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{65}{325/3}=\frac35.\)

Ответ: \(\frac35\).