В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 75, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 9√69. Найдите sin ∠ABC.

Решение:

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) с прямым углом \( ∠C \), катет \( AC = 75 \), высота \( CH = 9\sqrt{69} \). Нам нужно найти \( \sin ∠ABC \).

В прямоугольном треугольнике \( ABC \) синус угла \( ∠ABC \) равен отношению противолежащего катета \( AC \) к гипотенузе \( AB \):

\( \sin ∠ABC = \frac{AC}{AB} \)

Теперь нам нужно найти длину гипотенузы \( AB \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( CHB \). Угол \( ∠CHB = 90^\circ \). В треугольнике \( ABC \), \( ∠C = 90^\circ \). В треугольнике \( ACH \), \( ∠CHA = 90^\circ \).

В прямоугольном треугольнике \( ACH \), по теореме Пифагора:

\( AC^2 = AH^2 + CH^2 \)

\( 75^2 = AH^2 + (9\sqrt{69})^2 \)

\( 5625 = AH^2 + 81 \cdot 69 \)

\( 5625 = AH^2 + 5589 \)

\( AH^2 = 5625 - 5589 \)

\( AH^2 = 36 \)

\( AH = √{36} = 6 \)

Теперь рассмотрим свойство высоты прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла:

\( CH^2 = AH \cdot HB \)

\( (9\sqrt{69})^2 = 6 \cdot HB \)

\( 5589 = 6 \cdot HB \)

\( HB = \frac{5589}{6} \)

\( HB = 931.5 \)

Теперь найдём длину гипотенузы \( AB \):

\( AB = AH + HB \)

\( AB = 6 + 931.5 \)

\( AB = 937.5 \)

Теперь можем найти \( \sin ∠ABC \):

\( \sin ∠ABC = \frac{AC}{AB} = \frac{75}{937.5} \)

Для упрощения дроби умножим числитель и знаменатель на 10:

\( \sin ∠ABC = \frac{750}{9375} \)

Разделим числитель и знаменатель на 75:

\( 9375 \div 75 = 125 \)

\( \sin ∠ABC = \frac{10}{125} \)

Разделим числитель и знаменатель на 5:

\( \sin ∠ABC = \frac{2}{25} \)

Также можно записать в виде десятичной дроби:

\( \sin ∠ABC = 0.08 \)

Ответ: \( \frac{2}{25} \) или \( 0.08 \).