В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота BH к гипотенузе AC. Найдите длину BC, если AH = 40, BH = 9.

Дано: Прямоугольный треугольник ABC, BH - высота, AH = 40, BH = 9. Найти: BC. Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. По теореме Пифагора найдем AB: $$AB^2 = AH^2 + BH^2$$ $$AB^2 = 40^2 + 9^2 = 1600 + 81 = 1681$$ $$AB = \sqrt{1681} = 41$$ 2. Используем свойство высоты, проведенной из вершины прямого угла: $$BH^2 = AH \cdot HC$$. Отсюда можно найти HC: $$9^2 = 40 \cdot HC$$ $$81 = 40 \cdot HC$$ $$HC = \frac{81}{40} = 2.025$$ 3. Теперь найдем AC, сложив AH и HC: $$AC = AH + HC = 40 + 2.025 = 42.025$$ 4. Рассмотрим снова прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора найдем BC, зная AC и AB: $$BC^2 = AC^2 - AB^2$$ $$BC^2 = 42.025^2 - 41^2$$ $$BC^2 = 1766.100625 - 1681 = 85.100625$$ $$BC = \sqrt{85.100625} \approx 9.225$$ Ответ: BC ≈ 9.225 Развёрнутый ответ: Для решения этой задачи мы использовали теорему Пифагора и свойство высоты, проведенной к гипотенузе в прямоугольном треугольнике. Сначала нашли длину стороны AB, затем вычислили длину отрезка HC. После этого нашли длину гипотенузы AC и, наконец, вычислили длину стороны BC, применив теорему Пифагора к треугольнику ABC.