В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота BH к гипотенузе AC. Найдите длину BC, если AH = 20, BH = 15.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC, высота BH, проведённая к гипотенузе AC, делит его на два подобных треугольника: \( \triangle ABH \sim \triangle CBH \sim \triangle ABC \).

Из подобия \( \triangle ABH \) и \( \triangle CBH \) следует соотношение пропорциональных сторон:

\( \frac{AH}{BH} = \frac{BH}{CH} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{20}{15} = \frac{15}{CH} \)

Выразим \( CH \):

\[ CH = \frac{15 \cdot 15}{20} = \frac{225}{20} = \frac{45}{4} = 11.25 \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle BCH \). По теореме Пифагора:

\[ BC^2 = BH^2 + CH^2 \]

Подставим значения \( BH \) и \( CH \):

\[ BC^2 = 15^2 + (11.25)^2 \]

\[ BC^2 = 225 + 126.5625 \]

\[ BC^2 = 351.5625 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ BC = \sqrt{351.5625} = 18.75 \]

Ответ: 18.75