В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота из вершины C прямого угла. На этой высоте как на диаметре построена окружность. Известно, что эта окружность высекает на катетах отрезки, равные 12 и 18. Найдите катеты треугольника ABC.

Решение:

Пусть высота, проведённая из вершины прямого угла C, равна h. На этой высоте как на диаметре построена окружность. Окружность высекает на катетах отрезки, равные 12 и 18. Пусть эти отрезки будут AD = 12 и BD = 18, где D — точка на гипотенузе AB.

Высота CD является радиусом окружности, так как она — диаметр. Следовательно, CD = h/2. Точка D лежит на окружности, а катеты AC и BC пересекают окружность.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. По теореме о секущей и касательной (или о хорде и касательной, проведенной из точки пересечения с окружностью), если из точки A провести секущую, пересекающую окружность в точках E и F, то квадрат касательной равен произведению отрезков секущей. В нашем случае, точка C лежит на окружности, а CD — радиус. Точка, где окружность пересекает катет AC, назовем E. Точка, где окружность пересекает катет BC, назовем F.

Из условия задачи, окружность высекает на катетах отрезки 12 и 18. Это означает, что отрезки от вершины C до точки пересечения с окружностью равны 12 и 18. То есть, CE = 12 и CF = 18.

Рассмотрим прямоугольные треугольники.

В прямоугольном треугольнике ABC, высота CD делит гипотенузу AB на отрезки AD и DB. Известно, что CD² = AD · DB (свойство высоты прямоугольного треугольника).

Окружность построена на высоте CD как на диаметре. Значит, центр окружности O находится на середине CD, и радиус окружности равен \( r = \frac{CD}{2} \).

Пусть окружность пересекает катет AC в точке E, а катет BC в точке F. Тогда CE = 12 и CF = 18.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Угол CAD = \( \alpha \), угол ACD = \( 90^{\circ} - \alpha \).

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( AC = AB \cos \alpha \)

\( BC = AB \sin \alpha \)

\( CD = AC \sin \alpha = BC \cos \alpha \)

\( CD = AB \sin \alpha \cos \alpha \)

В окружности, построенной на CD как на диаметре, хорды CE и CF имеют длину 12 и 18 соответственно. Рассмотрим треугольник ACE. Угол AEC — вписанный угол, опирающийся на диаметр CD, если бы E была на окружности и была точкой пересечения хорды с AC. Однако, E — это точка пересечения окружности с катетом AC.

Известно, что если на высоте, как на диаметре, построена окружность, то она делит катеты на отрезки, равные квадрату катета, деленному на гипотенузу. Или, если продолжить высоту CD до пересечения с окружностью в точке G, то CG = CD = h. Окружность имеет диаметр h. Пусть она пересекает AC в точке E и BC в точке F.

Известный факт: Отрезки, высекаемые на катетах окружностью, построенной на высоте как на диаметре, равны \( \frac{AC^2}{AB} \) и \( \frac{BC^2}{AB} \).

Пусть \( AC^2/AB = 12 \) и \( BC^2/AB = 18 \).

Тогда \( AC^2 = 12 AB \) и \( BC^2 = 18 AB \).

В прямоугольном треугольнике ABC по теореме Пифагора:

\( AC^2 + BC^2 = AB^2 \)

Подставляем:

\( 12 AB + 18 AB = AB^2 \)

\( 30 AB = AB^2 \)

Так как \( AB \neq 0 \), то \( AB = 30 \).

Теперь найдем катеты:

\( AC^2 = 12 \cdot 30 = 360 \)

\( AC = \sqrt{360} = \sqrt{36 \cdot 10} = 6\sqrt{10} \).

\( BC^2 = 18 \cdot 30 = 540 \)

\( BC = \sqrt{540} = \sqrt{36 \cdot 15} = 6\sqrt{15} \).

Ответ: Катеты треугольника ABC равны \( 6\sqrt{10} \) и \( 6\sqrt{15} \).