В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AC= 24 см и BC = 36 см проведены медианы AM и BE, пересекающиеся в точке O. Найдите длины отрезков АО и ОМ.

Ответ: АО = 8\(\sqrt{13}\) см, ОМ = 4\(\sqrt{13}\) см

1. Отрезок AM - медиана треугольника ABC, значит, CM = CB = 36 см.
2. В треугольнике AMC AC = 24 см, СМ = 18 см, поэтому по теореме Пифагора: AM² = AC² + CM²
3. AM² = 24² + 18² = 576 + 324 = 900. Отсюда AM = \(\sqrt{900}\) = 30 см.
4. По свойству медиан точка О делит медиану АМ в отношении 2:1, считая от вершины А, т.е. АО : ОМ = 2 : 1.
5. Поэтому ОМ = \(\frac{1}{3}\) АМ = \(\frac{1}{3}\) \cdot 30 = 10 (см) и АО = 2 ОМ = 2 \cdot 10 = 20 (см).

Ответ: АО = 20 см, ОМ = 10 см