В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A проведена биссектриса BK, равная 12 см. Найдите больший катет, если известно, что BK = KC.

Так как отрезок BK является биссектрисой угла B, то в треугольнике BKC углы \(KBC\) и \(BKC\) равны. Следовательно, треугольник BKC равнобедренный, и его противолежащие стороны равны: \(BC=KC\).

По условию \(BK=KC=12\) см, значит, \(BC=12\) см.

Сторона \(BC\) — гипотенуза, поэтому больший катет найдём по теореме Пифагора. Пусть \(AB=x\), тогда \(AC=\sqrt{12^2-x^2}\). Используем свойство биссектрисы: \(\frac{AK}{KC}=\frac{AB}{BC}\). Так как \(KC=12\), \(BC=12\), получаем \(AK=AB=x\). В прямоугольном треугольнике \(ABK\): \(BK^2=AB^2+AK^2=2x^2\). Поэтому \(144=2x^2\), откуда \(x=6\sqrt2\) см. Второй катет равен \(AK+KC=6\sqrt2+12\) см, следовательно, он больший.

Ответ: \(12+6\sqrt2\) см.