В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH. ∠ABC = 30°, AH = 4. Найдите длину гипотенузы AB. Запишите решение и ответ.

В прямоугольном треугольнике высота, проведённая к гипотенузе, образует треугольник, подобный исходному: \(\triangle ACH \sim \triangle ABC\).

Так как \(\angle B=30^\circ\), то \(\angle A=60^\circ\). В треугольнике \(ABC\) катет, лежащий напротив угла \(30^\circ\), равен половине гипотенузы: \(AC=\frac{AB}{2}\).

Из подобия треугольников:

\[\frac{AH}{AC}=\frac{AC}{AB}.\]

Следовательно, \(AC^2=AH\cdot AB\). Подставим \(AC=\frac{AB}{2}\) и \(AH=4\):

\[\left(\frac{AB}{2}\right)^2=4AB,\qquad \frac{AB^2}{4}=4AB.\]

Так как \(AB>0\), получаем \(AB=16\).

Ответ: 16.