В прямоугольном треугольнике ABC (угол B = 90 градусов) проведена высота BH. Известно, что AB = 20 и BH = 10. Найдите BC.

В прямоугольном треугольнике ABH по теореме Пифагора найдём AH: $$AH = \sqrt{AB^2 - BH^2} = \sqrt{20^2 - 10^2} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$$.
По свойству высоты прямоугольного треугольника: $$BH^2 = AH \cdot HC$$.
Отсюда $$HC = \frac{BH^2}{AH} = \frac{10^2}{10\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} = \frac{10\sqrt{3}}{3}$$.
Теперь найдём BC: $$BC = \sqrt{BH^2 + HC^2} = \sqrt{10^2 + (\frac{10\sqrt{3}}{3})^2} = \sqrt{100 + \frac{100}{3}} = \sqrt{\frac{400}{3}} = \frac{20}{\sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3}$$.