В прямоугольном треугольнике ABC Угол C = 90%, AC = 8 см, BC = 2√3 см. Найти угол B и гипотенузу AB.

Дано:

\( \triangle ABC \)

\( \angle C = 90^{\circ} \)

\( AC = 8 \text{ см} \)

\( BC = 2\sqrt{3} \text{ см} \)

Найти:

\( \angle B \)

\( AB \)

Решение:

1. Найдем тангенс угла B: \( \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \).
2. Так как \( \tan 60^{\circ} = \sqrt{3} \) и \( \tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), значение \( \frac{4}{\sqrt{3}} \) не соответствует стандартным углам. Возможно, в условии опечатка. Проверим, если бы \( BC = \frac{8}{\sqrt{3}} \) или \( AC = 2\sqrt{3} \).
3. Предположим, что \( BC = \frac{8}{\sqrt{3}} \) см. Тогда \( \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{8/\sqrt{3}} = \sqrt{3} \). Отсюда \( \angle B = 60^{\circ} \).
4. Если \( \angle B = 60^{\circ} \), то \( \angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
5. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).
6. Если \( BC = \frac{8}{\sqrt{3}} \) см, то \( AB^2 = 8^2 + (\frac{8}{\sqrt{3}})^2 = 64 + \frac{64}{3} = \frac{192+64}{3} = \frac{256}{3} \). \( AB = \sqrt{\frac{256}{3}} = \frac{16}{\sqrt{3}} = \frac{16\sqrt{3}}{3} \) см.
7. Проверим, если бы \( AC = 2\sqrt{3} \) см. Тогда \( \tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{3}} = 1 \). Отсюда \( \angle B = 45^{\circ} \).
8. Если \( \angle B = 45^{\circ} \), то \( \angle A = 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ} \). Треугольник равнобедренный.
9. Найдем гипотенузу AB: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 = (2\sqrt{3})^2 + (2\sqrt{3})^2 = 12 + 12 = 24 \). \( AB = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \) см.
10. Исходя из написанного в тетради \( AC=8 \text{ см}, BC=2\sqrt{3} \text{ см} \), и \( \text{ABC} \) , \( \text{∠}C = 90^{\circ} \), \( \text{∠}C \) это прямой угол, \( AC \) это катет, \( BC \) это катет.
11. Находим \( \text{tg} B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}} \).
12. Угол B не является табличным.
13. Найдем гипотенузу AB по теореме Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 = 8^2 + (2\sqrt{3})^2 = 64 + 4 \cdot 3 = 64 + 12 = 76 \). \( AB = \sqrt{76} = \sqrt{4 \cdot 19} = 2\sqrt{19} \) см.

Ответ: \( \angle B \) не является табличным углом; \( AB = 2\sqrt{19} \text{ см} \).