В прямоугольном треугольнике ABC угол C — прямой, сумма ВА + АС равна 27 см. Найдите катет АС, если ∠B = 30°.

Решение:

Пусть катет АС = \( x \) см.

В прямоугольном треугольнике ABC, угол C = \( 90^{\circ} \), угол B = \( 30^{\circ} \).

Катет АС лежит напротив угла B. Катет BC лежит напротив угла A.

Гипотенуза AB.

Тангенс угла B равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету:

\[ \operatorname{tg} B = \frac{AC}{BC} \]

\( \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{x}{BC} \)

Так как \( \operatorname{tg} 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}} \), то:

\[ \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{x}{BC} \]

Отсюда, \( BC = x \sqrt{3} \) см.

Сумма катетов BA + AC = 27 см. Нам нужно найти гипотенузу AB, а не катет BC. Переформулируем задачу.

В прямоугольном треугольнике ABC, угол C = \( 90^{\circ} \), угол B = \( 30^{\circ} \).

Гипотенуза AB.

Катет AC лежит напротив угла B.

Синус угла B равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:

\[ \sin B = \frac{AC}{AB} \]

\( \sin 30^{\circ} = \frac{AC}{AB} \)

Так как \( \sin 30^{\circ} = \frac{1}{2} \), то:

\[ \frac{1}{2} = \frac{AC}{AB} \]

Отсюда, \( AB = 2 x AC \).

Пусть \( AC = x \) см. Тогда \( AB = 2x \) см.

По условию, \( AB + AC = 27 \) см.

Подставляем значения:

\[ 2x + x = 27 \]

\( 3x = 27 \)

\[ x = \frac{27}{3} \]

\( x = 9 \) см.

Таким образом, катет АС = 9 см.

Проверка:

Если \( AC = 9 \) см, то \( AB = 2 \cdot 9 = 18 \) см.

\( AB + AC = 18 + 9 = 27 \) см. Условие выполнено.

Ответ: 9 см.